(57)--知识点2-3 状态转移矩阵的计算方法.ppt

线性系统状态空间表达式的解2-3状态转移矩阵的计算方法

状态转移矩阵的定义回顾级数展开法齐次状态方程的解：状态转移矩阵的定义：级数展开法需对无穷级数求和，难以获得解析表达式，一般不推荐使用。

[证明]已知齐次微分方程：两边进行拉普拉斯变换：拉普拉斯反变换，得：计算公式拉普拉斯反变换法对比，得：证毕。

设P是使A变换为对角矩阵的变换矩阵，即。其中列向量为对应的特征向量，即，是由A的特征值组成的对角矩阵，则有：(1)若n阶方阵A的特征值为，且互异时利用特征值标准型及相似变换计算

[证明]因为，所以：又有：推广得：则(1)若n阶方阵A的特征值为，且互异时利用特征值标准型及相似变换计算

(1)若n阶方阵A的特征值为，且互异时则：证毕。利用特征值标准型及相似变换计算

则对应的指数矩阵为：当A有相同的特征值时，存在线性非奇异变换，可以将A化为约旦标准形J。设是A的n重根，则：(2)若n阶方阵A有重特征值时利用特征值标准型及相似变换计算

凯莱-哈密顿(Cayley-Hamilton)定理：n阶方阵A满足其特征方程，设n阶方阵A的特征方程为：则：凯莱-哈密顿定理是矩阵论的重要定理，基于该定理可将的无穷级数定义式简化为有限项多项式计算。有关该定理的证明可参阅矩阵论的有关著作。凯莱-哈密顿定理法定理描述

由凯莱密特定理得：是的线性组合。同理，也可以用来线性表示。以此类推，和可以用线性表示，并且所有高于次的乘幂项都可以用的线性组合来表示，即：定理使用凯莱-哈密顿定理法

(2)当A有相同的特征根时，有：(1)当A有互异的特征根时，有：定理使用凯莱-哈密顿定理法

[例2-2]已知,请计算。解：推荐使用拉普拉斯反变换法，其计算量较低。状态转移矩阵计算

所以，状态转移矩阵计算