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第一章线性系统的状态空间描述
1-9线性系统的数学模型变换(3)
——约旦标准型
线性系统的数学模型变换(3)
问题提出
当系统矩阵A特征值互异时,线性变换将系统状态空间表达式变换为对角标准型。
当系统矩阵有重特征值时,线性变换将系统状态空间表达式变换为什么形式?
若系统矩阵A仍然有n个独立的特征向量,线性变换将系统矩阵A转化为对角标准型;
若系统矩阵A独立特征向量个数小于n,线性变换将系统矩阵A转化为约当型矩阵。
约旦标准型
若系统矩阵A独立特征向量个数小于n,线性变换将系统矩阵A转化为约当型:
矩阵J是主对角线上的约当块;
线性变换将系统矩阵转化为准对角型矩阵。
线性系统的数学模型变换(3)
约旦标准型
约当块主对角线上的元素是m重特征值,主对角线上方的次对角线上元素均为1,其余元素均为0,称为m阶约当块,即:
线性系统的数学模型变换(3)
约旦标准型
设n阶系统矩阵A具有m重特征值,其余n-m个特征值互异,且A对应于m重特征值的独立特征向量只有一个,则A经线性变换后可化为:
线性系统的数学模型变换(3)
求解将A化为约当标准型的变换矩阵P
解:根据线性变换的定义
则有:
线性系统的数学模型变换(3)
等式两边对应的向量相等,则:
线性系统的数学模型变换(3)
独立特征向量
广义特征向量
实例解析
[例1-12]已知状态空间表达式为
求其特征值、特征向量和约当标准型。
线性系统的数学模型变换(3)
解:系统特征方程为:
系统特征值为:
对应于的特征向量:
线性系统的数学模型变换(3)
对应于的广义特征向量:
对应于的广义特征向量:
线性系统的数学模型变换(3)
构造线性变换矩阵:
变换后的状态空间表达式为:
线性系统的数学模型变换(3)
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