2022-2023上海八年级数学上册期末专题复习14 压轴题精讲-正反比例函数几何综合 （教师版）.docxVIP

专题14正反比例函数压轴综合

【典例分析】

题型一：正反比例函数与线段

1．（2021秋?虹口区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△AOB是等边三角形．

（1）在y轴正半轴取一点E，使得△EOB是一个等腰直角三角形，EB与OA交于M，已知MB＝3，求MO．

（2）若等边△AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC＝3BD．反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好经过点C和点D，求反比例函数解析式．（此题无需写括号理由）

【考点】反比例函数综合题．

【专题】反比例函数及其应用；应用意识．

【分析】（1）过M作MH⊥x轴交x轴于点H，利用勾股定理得出OM与OH的关系，再计算出OH和OM即可；

（2）过C作CF⊥x轴交x轴于点F，过D作DG⊥x轴交x轴于点G，OF＝a，分别用a的代数式表示出C点和D点的坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式即可．

【解答】解：（1）如下图，过M作MH⊥x轴交x轴于点H，

设OH＝m，∵∠EOB＝90°，△EOB是一个等腰直角三角形，

∴EO＝BO，∠EBO＝45°，

∴直角△MHB也是等腰直角三角形，即MH＝BH，

∵MH2+BH2＝BM2，即2MH2＝（）2＝18，解得：MH＝3，

又∵△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠OMH＝30°，

∴OM＝2OH＝2m，

在Rt△MOH中，MH2+OH2＝OM2，即：9+m2＝4m2，

解得：，（舍）

∴；

（2）如下图，过C作CF⊥x轴交x轴于点F，过D作DG⊥x轴交x轴于点G，

设OF＝a，

∵△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝∠ABO＝60°，∴∠OCF＝∠BDG＝30°，

∴OC＝2OF＝2a，BD＝2BG，

∵OC＝3BD，∴，∴，∴，

在Rt△COF中，，

在Rt△DBG中，，

∴，，

∵点C和点D在y=(k≠0)上，则：，解得：，

∴反比例函数解析式为．

【点评】本题主要考查反比例函数的解析式，熟练掌握反比例函数的性质及待定系数法求解析式是解题的关键．

2．（2020秋?浦东新区校级期末）已知点P（m，4）在反比例函数的图象上，正比例函数的图象经

过点P和点Q（6，n）．

（1）求正比例函数的解析式；

（2）求P、Q两点之间的距离．

（3）如果点M在y轴上，且MP＝MQ，求点M的坐标．

【考点】待定系数法求反比例函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求正比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征．

【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．

【分析】（1）根据反比例函数解析式求得P的坐标，然后利用待定系数法即可求得正比例函数的解析式；

（2）求出Q点坐标，利用勾股定理即可解决问题；

（3）由MP＝MQ推点M在PQ的垂直平分线上，再利用勾股定理即可求出点M的坐标．

【解答】解：（1）设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），

∵点P（m，4）在反比例函数的图象上，

∴﹣＝4，解得m＝﹣3，

∴P的坐标为（﹣3，4），

∵正比例函数图象经过点P，∴﹣3k＝4，解得k＝﹣，

∴正比例函数的解析式为y＝﹣x；

（2）∵正比例函数图象经过点Q（6，n），∴n＝﹣×6＝﹣8，

∴点Q（6，﹣8），∴P、Q两点之间的距离＝＝15．

（3）作PQ的垂直平分线交y轴于点M，设M（0，y），

∵P（﹣3，4），Q（6，﹣8），∴N（，﹣2），

∵PQ＝15，∴NQ＝，

∵MQ2＝MN2+NQ2

∴62+（﹣8﹣y）2＝（﹣）2+（y+2）2+（）2，

解得y＝﹣，

∴点M的坐标为（0，﹣）．

【点评】本题考查待定系数法求正比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，线段垂直平分线的性质，勾股定理、坐标与图形性质，找到M点的位置是做题关键．

3．（2020秋?虹口区期末）如图，直线y＝ax（a＞0）与双曲线y＝（k＞0）交于A，B两点，且点A的

坐标为（4，2）．

（1）求a和k的值；

（2）求点B的坐标；

（3）y轴上有一点C，联结BC，如果线段BC的垂直平分线恰好经过点A，求点C的坐标．

【考点】反比例函数综合题．

【专题】反比例函数及其应用；运算能力．

【分析】（1）根据待定系数法即可求得a和k的值；

（2）联立直线和双曲线解析式，即可得到点B坐标；

（3）由垂直平分线的性质可知AC＝AB，利用两点间距离公式建立等式，求解即可．

【解答】解：（1）直线y＝ax（a＞0）过点A（4，2），∴4a＝2，∴a＝，

∵双曲线y＝（k＞0）过点A，∴k＝2×4＝8．

∴a＝，k＝8．

（2）令x＝，解得x＝±4，∴当x＝﹣4时，y＝﹣2，

∴B（﹣4，﹣2）．

（3）设点C（0，y），

由点A，B，C的坐标可知，AB＝4，AC＝，

∵线段BC的垂直平分线恰好经过点A，

∴AB＝AC，即4＝，

解得y＝﹣6，或y＝