2022-2023上海八年级数学上册期末专题复习15 压轴题精讲-动点专题（教师版）.docxVIP

专题015压轴题精讲-动点专题

【典例分析】

1．（2021秋?嘉定区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°中，∠A＝30°，AC＝，将一个30°角

的顶点D放在边AB上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC、BC交于点E、F，且DE⊥AB．

（1）如图1，当点F与点C重合时，求CD的长．

（2）如图2，设AD＝x，BF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．

（3）联接EF，若△DEF是直角三角形，直接写出AD的长．

【考点】三角形综合题．

【专题】几何综合题；推理能力．

【分析】（1）证明DA＝CD＝DB，可得结论；

（2）证明等边三角形BDF，求出BF＝BD＝y，可得x+y＝4，根据y＝x﹣4≤2，得出x≥2，根据一定与线段AC、BC相交，得出AD最大到M处，求出AM即可得出答案；

（3）分为两种情况：①E为直角顶点时．②F为直角顶点时，分别构建方程求解即可．

【解答】解：（1）∵DE⊥AB，∴∠ADE＝90°，

∵∠EDF＝30°，∠A＝30°，∴∠ADC＝120°，

∴∠ACD＝180°﹣30°﹣120°＝30°，

∴∠A＝∠ACD＝30°，∴DA＝DC，

∵∠ACB＝90°，∴∠B＝∠DCB＝60°，

∴CD＝DB，∴CD＝AD＝DB，

∵AC＝2，AB＝2BC，∴BC=2，AB＝4，

∴CD＝AB＝2；

（2）∵DE⊥AB，∠EDF＝30°，∴∠FDB＝∠B＝60°，∴△BDF是等边三角形，∴BF＝BD，

∴AD+BD＝4，∴x+y＝4，∴y＝4﹣x，

∵y≤2，∴4﹣x≤2，∴x≥2，

∵30°角的两边分别与△ABC的边AC、BC交于点E、F，

∴过C作CM⊥AB于M，最后D只能到M点，∴x此时是3，

∴函数的定义域（即x的取值范围）是：2≤x≤3；

（3）如图1中，当∠DEF＝90°时，

∵∠ADE＝90°，∠A＝30°，AD＝x，∴DE＝x，

∵∠EDF＝30°，∴DF＝DB＝x，∴x+x＝4，

解得：x＝，即AD＝；

当∠EFD＝90°时，（如图2），

∵∠FDE＝30°，∴DF＝DB＝x

∴x+x＝4，解得：x＝，

即AD＝；

综上所述：AD＝或AD＝．

【点评】本题属于三角形综合题，考查了含30度角的直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

2．（2021秋?普陀区期末）已知：如图，△ABC是边长为a的等边三角形，D为边BC上一点（不与点B、

C重合），AD的垂直平分线EF分别交边AB、AC于点E、F，联结DE、DF．

（1）当a＝4时，如果D为边BC的中点，求DE的长；

（2）设BD＝x，用含有字母a和x的代数式表示△BDE的周长与△DFC的周长的比；

（3）如果△BDE为直角三角形，求BE的长（用含有字母a的代数式表示）．

【考点】三角形综合题．

【专题】几何综合题；等腰三角形与直角三角形；推理能力．

【分析】（1）由等边三角形的性质得AB＝BC＝AC＝4，AD⊥BC，再由线段垂直平分线的性质得AE＝DE，EF垂直平分AD，可得EF∥BC，AE＝BE，根据直角三角形斜边上的中线即可求解；

（2）求出△BDE的周长＝BE+DE+BD＝AB+BD＝a+x，得出△DFC的周长＝BC+AC﹣BD＝2a﹣x，即可求解；

（3）设BE＝m，分两种情况，①∠CEB＝90°时，由含30°角的直角三角形的性质得BD＝2BE＝2m，DE＝AE＝AB﹣BE＝a﹣m，根据勾股定理求解即可；

②∠BDE＝90°时，由含30°角的直角三角形的性质得BD＝BE＝m，DE＝AE＝AB﹣BE＝a﹣m，根据勾股定理求解即可．

【解答】解：（1）∵等边三角形ABC的边长为a，a＝4，∴AB＝BC＝AC＝4，

∵D为边BC的中点，∴AD⊥BC，

∵EF是AD的垂直平分线，∴EF∥BC，AE＝BE，∴DE＝AB＝2；

（2）∵EF是AD的垂直平分线，∴AE＝DE，AF＝DF，

∵△BDE的周长＝BE+DE+BD＝AB+BD＝a+x，得出△DFC的周长＝CD+DF+CF＝BC+AC﹣BD＝2a﹣x，

∴＝；

（3）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，

设BE＝m，分两种情况：

①当∠CEB＝90°时，如图所示：

则∠BDE＝90°﹣∠B＝30°，

∴BD＝2BE＝2m，DE＝AE＝AB﹣BE＝a﹣m，

∵BD2＝BE2+DE2，即（2m）2＝m2+（a﹣m）2，

解得：m＝或m＝（负值不合题意，舍去），

∴BE＝；

②当∠BDE＝90°时，如图所示：

则∠BED＝90°﹣∠B＝30°，

∴BD＝BE＝m，DE＝AE＝AB﹣BE＝a﹣m，

∵BE2＝BD2+DE2，即m2＝（m）2+（a﹣m）2，

解得：m＝（4﹣2）a或m＝（4+