考研数学二(微分方程)模拟试卷13(题后含答案及解析).pdf

(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设y＝y(χ)为微分方程2χydχ＋(χ2－1)dy＝0满足初始条件y(0)＝1

的解，则y(χ)dχ为()．

A．－ln3

B．ln3

C．－ln3

D．ln3

正确答案：D

解析：由2χydχ＋(χ2－1)dy＝0得＝0，积分得ln｜χ2－1｜＋lny－

lnC，从而y＝，由y(0)＝1得C＝－1，于是y＝故，因此选

D．知识模块：微分方程

2．微分方程y〞－y′－6y＝(χ＋1)e－2χ的特解形式为()．

A．(aχ＋b)e－2χ

B．aχ2e－2χ

C．(aχ2＋bχ)e－2χ

D．χ2(aχ＋b)e－2χ

正确答案：C

解析：因为原方程的特征方程的两根分别为λ1＝－2，λ2＝3，而－2为其

中一个特征值，所以原方程的特解形式为χ(aχ＋b)e－2χ，选

C．知识模块：微分方程

3．微分方程y〞－4y＝χ＋2的通解为()．

A．(C1＋C2χ)e2χ－

B．(C1＋C2)e－2χ－

C．C1e－2χ＋C2e2χ－χ

D．C1e－2χ＋C2e2χ－

正确答案：D

解析：微分方程y〞－4y＝0的特征方程为λ2－4＝0，特征值为－2，2，则

方程y〞－4y＝0的通解为C1e－2χ＋C2e2χ，显然方程y〞－4y＝χ＋2有特

解，选

D．知识模块：微分方程

填空题

4设连续函数f(χ)满足f(χ)＝∫02χf()dt＋eχ，则f(χ)＝_______．

正确答案：2e2χ－eχ

解析：∫02χf()dt＝2∫0χf(t)dt，则f(χ)＝∫02χf()dt＋eχ可化为f(χ)

＝2∫0χf(t)dt＋eχ，两边求导得f′(χ)－2f(χ)＝eχ，解得f(χ)＝[∫eχ.e

∫－2dχdχ＋C]e－∫－2dχ＝(－e－χ＋C)e2χ＝Ce2χ－eχ，因为f(0)

＝1，所以f(0)＝C－1＝1，C＝2，于是f(χ)＝2e2χ－eχ．知识模块：微分方

程

5．微分方程(2＋3)y〞－4y′的通解为_______．

正确答案：y＝C1χ3＋6C1χ2＋9C1χ＋C2(C1，C2为任意常数)

解析：令y′－p，则，两边积分得lnp＝ln(2χ＋3)2＋lnC1，或y′＝

C1(2χ＋3)2，于是y＝C1χ3＋6C1χ2＋9C1χ＋C2(C1，C2为任意常

数)．知识模块：微分方程

6．微分方程yy〞＝1＋y′2化满足初始条件y(0)＝1，y′(0)＝0的解为

_______．

正确答案：ln｜y＋｜＝±χ

解析：令y′＝p，则yp＝1＋p2，即，解得ln(1＋p2)＝lny2＋lnC1，则

1＋p2＝C1y2，由y(0)＝1，y′(0)＝0得y′＝±，ln｜y＋｜＋C2＝±χ，

由y(0)＝1得C2＝0，所以特解为ln｜y＋｜＝±χ．知识模块：微分方程

7．微分方程y〞＋4