专题08 基本不等式综合必刷100题(解析版).docx

专题08基本不等式综合必刷100题

任务一:善良模式(基础)1-40题

一、单选题

1．已知均为正实数，且满足，则的最大值为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据题意，结合基本不等式求得，再利用对数的运算，即可求解.

【详解】

由均为正实数，且满足，

可得，当且仅当时，等号成立，

则，即的最大值为.

故选：C

2．已知，，且，则最小值为（）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据条件将多项式写成的形式，利用基本不等式求得最小值.

【详解】

由题知，，

当且仅当，即，时，等号成立，

故选：B

3．已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为（）

A．3 B．8 C．4 D．9

【答案】D

【分析】

根据两圆公切线的性质，结合基本不等式进行求解即可.

【详解】

因为圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，

所以两圆相内切，其中C1(－2a，0)，r1＝2；C2(0，b)，r2＝1，故|C1C2|＝，由题设可知，

当且仅当a2＝2b2时等号成立．

故选：D.

4．已知，，且，则的最小值为（）

A．9 B．10 C．11 D．

【答案】A

【分析】

利用“乘1法”将问题转化为求的最小值，然后展开利用基本不等式求解．

【详解】

，，又，且，

，

当且仅当，解得，时等号成立，

故的最小值为9．

故选：A．

【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

5．已知，函数在处的切线与直线平行，则的最小值是（）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】

结合复合函数求导求出函数的导函数，进而求出切线的斜率，然后根据两直线平行斜率相等得到，进而结合均值不等式即可求出结果.

【详解】

因为，则，因为切点为，则切线的斜率为，又因为切线与直线平行，所以，即，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，则的最小值是，

故选：C.

6．已知直线与圆相切，则的最大值为（）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由直线与圆相切可得，然后利用均值不等式可得，从而可求的最大值.

【详解】

解：因为直线与圆相切，

所以，即，

因为，所以，

所以，

所以的最大值为，

故选：D.

7．若，且，则下列结论中正确的是（）

A．的最大值是 B．的最小值是

C．的最小值是 D．的最小值是

【答案】A

【分析】

根据已知条件，结合基本不等式逐个分析判断即可

【详解】

对于A，因为，且，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值是，所以A正确，

对于B，，且，所以，即，当且仅当时取等号，所以的最大值是，所以B错误，

对于C，因为，且，所以，所以，由选项B的解答可知，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值是，所以C错误，

对于D，因为，且，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，所以D错误，

故选：A

8．已知a，b为正实数，且满足，则的最小值为（）

A．2 B． C．4 D．

【答案】C

【分析】

根据题意可得，由，展开利用基本不等式即可求解.

【详解】

由，可得，

，

当且仅当且，即时等号成立．

故选：C．

9．已知在中，动点C满足，其中，且，则的最小值为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由题意可得A，B，C三点共线，且C点在线段上，于是，且，然后利用均值不等式即可求解.

【详解】

解：由题意可得A，B，C三点共线，且C点在线段上，于是，且，

所以，

当且仅当，即，时取等号，

故选：C.

10．若实数满足，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

由，令，利用不等式的性质即可求得的范围．

【详解】

解：，

又，

，令，

则，

，即，当且仅当时，取等号，

的取值范围是，．

故选：A．

11．已知正数x，y满足x2+2xy-3=0，则2x+y的最小值是（）

A．1 B．3

C．6 D．12

【答案】B

【分析】

由x2+2xy-3=0，可得y=，则2x+y=2x+，再利用基本不等式即可得出答案.

【详解】

解：∵x2+2xy-3=0，∴y=，

∴2x+y=2x+2=3，

当且仅当，即x=1时取等号.

故选：B.

12．已知，，则的最小值是（