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实数与向量的积（2）

教学目的：

1．了解平面向量基本定理；

2．掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法；

3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达

教学重点：平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示

教学难点：平面向量基本定理的理解

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1．向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向

2．向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示；

3．零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量

4．平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；

②我们规定0与任一向量平行向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ

5．相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量

6．共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量

7．向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法

向量加法的三角形法则和平行四边形法则

8．向量加法的交换律：+=+

9．向量加法的结合律：(+)+=+(+)

10．向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差即：a?b=a+(?b)

11．差向量的意义：=a,=b,则=a?b

即a?b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量

12．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ

（1）|λ|=|λ|||；（2）λ0时λ与方向相同；λ0时λ与方向相反；λ=0时λ=

13．运算定律结合律：λ(μ)=(λμ)

分配律：(λ+μ)=λ+μλ(+)=λ+λ

14．向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ

二、讲解新课：(共面向量定理)

平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2

探究：(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一λ1，λ2是被，，唯一确定的数量

三、讲解范例：

例1已知向量，求作向量?25+3

作法：（1）取点O，作=?25=3

（2）作OACB，即为所求?25+3

例2如图ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，，和

解：在ABCD中，∵=+=+，=?=?

∴=?=?(+)=??，

==(?)=?

==+

=?=?=?+

例3已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，

求证：+++=4

证明：∵E是对角线AC和BD的交点

∴==?,==?

在△OAE中，+=

同理+=，+=，+=

以上各式相加，得+++=4

例4如图，，不共线，=t(t?R)用,表示

解：∵=t

∴=+=+t

=+t(?)=+t?t=(1?t)+t

四、课堂练习：

1．设e1．e2是同一平面内的两个向量,则有

A．e1．e2一定平行

B．e1．e2的模相等

C．同一平面内的任一向量a都有a=λe1+μe2(λ、μ∈R)

D．若e1．e2不共线,则同一平面内的任一向量a都有a=λe1+ue2(λ、u∈R)

2．已知矢量a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中e1．e2不共线,则a+b与c=6e1-2e2的关系

A．不共线B.共线C.相等D.无法确定

3.已知向量e1．e2不共线,实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值等于



4.