定积分的简单应用教案.docxVIP

定积分的简单应用

一、学习目标：

1.使学生在定积分几何意义的基础上，通过自主探究，应用定积分解决曲线围成的平面图形的面积.

2.能应用定积分求变速直线运动的路程、变力所做的功.

二、重点难点：

重点：能够利用定积分解决实际问题，在解决问题的过程中体会定积分的价值.

难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数

三、知识链接

定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义

四、学习指导

图形的面积为非负数，当图形在轴的下方时的情况需要注意；当图形比较复杂时，将图形分割成若干个比较简单的图形；

在物理中应用时，注意力或速度的方向，积分的上限、下限.

五、问题逻辑

（一）复习与思考

1.定积分的几何意义.

热身训练：计算（1）（２）．计算

2.用定积分表示阴影部分的面积

xy

x

y

N

M

O

b

A

B

C

D

x

y

N

M

O

A

B

C

D

3.汽车变速直线运动行驶的路程，等于其速度函数在时间区间[,]上的定积分，即.

4.如果物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到（），那么变力所做的功为.

xy

x

y

O

A

B

C

D

1

1

-1

-1

例１．计算由曲线与所围图形的面积．

探究过程.

1.找到图形----画图得到曲边形.

2.曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线.

3.定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数.

4.计算定积分.

变式训练：求曲线与直线围成的图形的面积.

例2.计算由直线，曲线以及轴所围图形的面积.

讨论探究解法的过程

1．找到图形----画图得到曲边形.

2．曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线.

3．定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数.表示不到，那换成Y为积分变量呢？

x4yO8

x

4

y

O

8

4

2

2

S1

S2

4

x

y

O

8

4

2

2

探讨：为积分变量

变式训练：求曲线与直线，围成的图形的面积.

反思：解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤：

1．画草图，求出曲线的交点坐标．

2．将曲边形面积转化为曲边梯形面积．

3．根据图形特点选择适当的积分变量．（注意选择型积分变量时，要把函数变形成用表示的函数）

4．确定被积函数和积分区间．

5．计算定积分，求出面积.

（三）定积分在物理中的应用（变速直线运动的路程）

例3.（见课本例3）

变式训练：一点在直线上从时刻开始以速度运动，求

在时的位置；

在时运动的路程.

（四）定积分在物理中的应用（变力做功）

例4.（见课本例4）

变式训练：在底面积为的圆柱容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞（面积为）从处推到处，计算在移动过程中，气体压力所做的功.

六目标检测

1.抛物线与轴所围成的图形的面积为（）

A.B.C.D.

2.由抛物线，直线及轴所围成的图形的面积为（）

A.B.C.D.

3.质点做直线运动，其速度，则它在第2秒内所走的路程为（）

4.如果1N力能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm,所耗费的功为（）

A.0.18J

5.抛物线及其在点A（1，0）和点B（3，0）处的切线所围成的图形的面积为.

6.某质点作直线运动，其速度，则它在第2秒内所走的路程是____________．

7.计算由曲线与及、所围平面图形的面积．

8.物体A以速度在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以的速度与A同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体A的走过的路程是多少？（时间单位为：s，速度单位为：m/s）