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学生课程讲义

课程名称

五年级奥数

上课时间

任课老师

沈老师

第_25_讲，本讲课题：完全平方数

内容概要

一个自然数自乘所得的积称为完全平方数,100以内的完全平方数(又称平方数)是0、1、2×2=4、3×3=9、4×4=16、5×5=25、6×6=36、7×7=49、8×8=64、9×9=81共10个,平方数有一些特别的性质,可以解决一些有趣的问题:少年宫游戏厅内悬挂着200个彩色灯泡,这些灯泡或明或暗,闪烁不停.这200个灯泡按1~200编号,它们每过1秒变化一下自己的明暗状态.开始时,全部灯泡是暗的第1秒,全部灯泡是亮着的;

第2秒,凡编号为2的倍数的灯泡改变自己的明暗状态,即变暗;

第3秒,凡编号为3的倍数的灯泡改变自己的明暗状态:明的变暗,暗的变明……依次类推,第n秒钟,凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的明暗状态.每200秒钟为一周期.即到201秒时,全部灯泡大放光明,然后继续上述规则改变

原来的状态.问:第200秒时,明亮的灯泡有多少

事实上,每个灯泡如果明暗改变次数为偶数次时,它还保持原来的明暗状态;如果变化次数为奇数次时,则明暗状态发生改变,原来明亮的灯泡将变暗,原来不亮的灯泡将变明亮.由于平方数的不同约数个数为奇数,从第2秒开始(此时,偶数编号灯泡变暗,奇数编号灯泡是亮的)起到200秒止,中间的平方数有4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196,在这些秒时,同样编号的灯泡由暗变明,加上1号灯泡始终是亮的,共14个灯泡是亮的.下面举例来讨论平方数的一些问题。

【例1】在1-2016的自然数中,完全平方数共有（）个

随堂练习1

在324、897、211、247、546中,哪些数是完全平方数。

【例2】46035乘以一个自然数a,是一个平方数,a最小是多少?

随堂练习2

203500乘一个自然数a，是一个平方数，a最小是多少？

【例3】下面是一个算式

1+1×2+1×2×3+1×2×3×4+1×2×3×4×5+1×2×3×4×5×6.这个算式的得数能否是某个数的平方?

【例4】

请找出符合下列性质的所有四位数:

(1)它是一个平方数；

(2)开始两位数的数字要相同;

(3)最末两位数的数字要相同

随堂练习3

自然数N是一个两位数,它是一个完全平方数,而且N的个位数字与十位数字都是完全平方数，这样的自然数是（）

【例5】有一些自然数(0除外)既是平方数,又是立方数(注:平方数可以写成两个相同的自然数的乘积,立方数可以写成三个相同的自然数的乘积).如:1=1×1=1×1×1,64=8×8=4×4×4,那么1000以内的自然数中,这样的数有（）个

【例6】下式中每个汉字表示1~9中的一个数字,不同的汉字代表不同的数字.已知

热2+爱2+小2=学2+奥2+数2那么,请写出符合上述条件的一个等式:

随堂练习4

12345654321是平方数吗?

练习题

一、填空题

1、一个两位数等于它个位数字的平方与十位数字之和,这个两位数是

2、把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，它与原来数加起来的和恰好是某个自然数的平方，这个和是（）

3、哥哥对弟弟说:“到21世纪的x2年,我恰好是x岁,”哥哥生于（）年。

4、在自然数中,恰好有3个因数的两位数共有（）个。

5、祖孙三人,孙子年龄与爷爷年龄之积是1512,而爷爷、父亲、孙子三人年龄之积是完全平方数,则父亲年龄是（）岁。

6、(12+22+32+…+20142)除以7的余数是()

7、22015与20152的和除以7的余数是（）

8、在2024到2499之间有多少个平方数？

9、有多少个小于2008的数,使得它们与72相乘均为完全平方数.

10、能不能找到自然数n,使n、n+97都是完全平方数。

11、n是一个正整数,如果n×n的十位数字是7,那么,n×n的个位数字是（）

12、1234567654321×(1+2+3+5+6+7+6+5+4+3+2+1)

等于（）

13、请说明从1开始的连续n个奇数的和是平方数。