用综合法求空间角课件-+2024届高三数学一轮复习.pptxVIP

第七章

立体几何与空间向量;内容索引;学习目标;;核心体系;活动方案;活动一基础训练;

;2.(2023常州高级中学高一校考期末)在正四面体ABCD中，异面直线AB与CD所成的角为α，侧棱AB与底面BCD所成的角为β，侧面ABC与底面BCD所成的锐二面角为γ，则下列结论中正确的是()

A.α>γ>β B.α>β>γ

C.β>α>γ D.γ>α>β

【分析】分别根据异面直线所成角的定义，线面角的定义，以及二面角的定义确定角α，β，γ的大小即可得到结论．;【解析】设点A在底面BCD的射影为O，连接AO.因为A－BCD是正四面体，所以O是△BCD的中心．如图，取BC的中点E，连接OB，OE，AE.在正四面体A－BCD中，因为AO⊥平面BCD，又CD?平面BCD，所以AO⊥CD.又BO⊥CD，AO?平面ABO，BO?平面ABO，AO∩BO＝O，所以CD⊥平面ABO.因为AB?平面ABO，所以AB⊥CD，即异面直线AB与CD所成的角α＝90°.因为侧棱AB在底面BCD内的射影为OB，所以∠ABO是侧棱AB与底面BCD所成的角，即β＝∠ABO.因为AE⊥BC，OE⊥BC，所以侧面ABC与底面BCD所成的角为∠AEO，即γ＝∠AEO.;

;3.(2023盐城高二校考期中)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为();【解析】如图，连接DB，A1B，A1D，则B1C∥A1D.因为E，F分别是AB，AD的中点，所以DB∥EF，所以∠A1DB是异面直线B1C与EF所成的角．又△A1DB是等边三角形，所以∠A1DB＝60°.

;【分析】在正四面体SABC中，过顶点S作底面ABC的垂线，垂足O即为△ABC的中心，进而可得出线面角，根据其正弦值的范围，求出线段SM的范围，进而求出OM的范围，则点M的轨迹所形成的平面图形为一个半径为1的圆面，从而可求出其面积．;

;5.(2023淮安郑梁梅高级中学模拟)刻漏是中国古代用来计时的仪器，利用附有刻度的浮箭随着受水壶的水面上升来指示时间．为了使受水壶得到均匀水流，古代的科学家们发明了一种三级漏壶，壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上口宽依次递减1寸(约3.3cm)，下底宽和深度也依次递减1寸．设三个漏壶的侧面与底面所成的锐二面角依次为θ1，θ2，θ3，则下列结论中正确的是();【分析】如图，连???OF，过边A1B1的中点E作EG⊥OF，垂足为G，则∠GFE就是漏壶的侧面与底面所成锐二面角的一个平面角，记为θ.设漏壶上口宽为a，下底宽为b，高为h，在Rt△EFG中，根据等差数列即可求解．;

;活动二典型例题;

;如图，在底面为正方形的四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，PA＝AD，则异面直线PB与AC所成角的大小为();

;求异面直线所成的角的关键是将异面直线进行平移，找平行线的常见方法：一、利用三角形的中位线；二、构造平行四边形，利用平行四边形的一组对边平行进行平移；三、将已知图形补全，构造平行线求解．其解题步骤是先作图，证明平行关系，交代所求的角，再利用平面图形的知识计算角．其易错点是要关注异面直线所成的角是锐角或直角．;题组二求直线与平面所成的角;

;如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为();

;求直线与平面所成的角的关键是寻找斜线在平面上的射影，要善于根据题意寻找平面的垂线，通常方法：一、利用题设中的线线垂直关系转换为线面垂直；二、找已知平面的垂面，再利用面面垂直的性质转化为线面垂直．有时作平面的垂线较繁杂，可以不作平面的垂线，利用空间的数量关系直接求点到平面的距离，进而在直角三角形中直接求线面角．

常见求解步骤是先作图，证明垂直关系，交代所求的角，再在直角三角形中求得所求的角．

其易错点是平面的斜线与平面所成的角是锐角．;题组三求二面角;

;1如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AC＝AB＝AA1，E是BC的中点．

(1)求证：AE⊥B1C；

(2)求异面直线AE与A1C所成角的大小；

(3)若G为C1C的中点，求二面角C－AG－E的正切值．;【解析】(1)因为BB1⊥平面ABC，AE?平面ABC，

所以AE⊥BB1.

由AB＝AC，E为BC的中点，得AE⊥BC.

因为BC∩BB1＝B，BC?平面BB1C1C，BB1?平面BB1C1C，

所以AE⊥平面BB1C1C.

又因为B1C?平面BB1C1C，所以AE⊥B1C.;(2)如图，取B1C1的中点E1，连接A1E1，E1C，

则AE∥A1E1，