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大题培优01三角函数与解三角形
目录
TOC\o1-1\h\u【题型一】三角函数性质与恒等变形 1
【题型二】图像与性质:零点型 2
【题型三】新结构第19题型:三角函数图像与性质型 3
【题型四】解三角形:求最大角度型 4
【题型五】解三角形:边长与中线型最值 5
【题型六】解三角形:角平分线型求最值 6
【题型七】解三角形:高的最值型 8
【题型八】解三角形:双余弦型 8
【题型九】三角形外接圆 9
【题型一】三角函数性质与恒等变形
已知的部分图象求其解析式时
比较容易看图得出,困难的是求待定系数和,常用如下两种方法:
(1)由即可求出;确定时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标,则令(或),即可求出.
(2)代入点的坐标,利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式,再结合图形解出和,若对,的符号或对的范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求.
1.(2024·北京延庆·一模)已知函数,的最大值为.
(1)求的值;
(2)将的图象向右平移个单位得到的图象,求函数的单调增区间.
2.(2024·北京平谷·模拟预测)已知函数,其中,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件,使存在,并完成下列两个问题.
(1)求的值;
(2)若,函数在区间上最小值为,求实数的取值范围.
条件①:对任意的,都有成立;
条件②:;
条件③:.
3.(2024·山东临沂·一模)已知向量,,函数.
(1)若,且,求的值;
(2)将图象上所有的点向右平移个单位,然后再向下平移1个单位,最后使所有点的纵坐标变为原来的,得到函数的图象,当时,解不等式.
【题型二】图像与性质:零点型
零点处,令sin(ωx+φ)=0,ωx+φ=kπ(k∈Z),可求得对称中心的横坐标;
正弦“第一零点”:;正弦“第二零点”:
余弦“第一零点”:;余弦“第二零点”:
零点求和型,多利用三角函数对称轴对称性求解
对称性:换元思想,将y=Asin(ωx+φ)中的“ωx+φ”看成y=sinx中的“x”,采用整体代入求解.
对称轴:最值处,令sin(ωx+φ)=1,则ωx+φ=kπ+eq\f(π,2)(k∈Z),可求得对称轴方程;
1.(2024·全国·模拟预测)已知函数.
(1)若的图象经过点,,且点恰好是的图象中距离点最近的最高点,试求的解析式;
(2)若,且在上单调,在上恰有两个零点,求的取值范围.
2.(23-24高三上·吉林白城·阶段练习)已知函数为奇函数,且图象的相邻两条对称轴间的距离为.
(1)求的解析式与单调递减区间;
(2)将函数的图象向右平移个单位长度,再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),得到函数的图象,当时,求方程的所有根的和.
3.(2023·海南省直辖县级单位·模拟预测)如图为函数的部分图象,且,.
(1)求,的值;
(2)将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变),再向右平移个单位长度,得到函数的图象,讨论函数在区间的零点个数.
【题型三】新结构第19题型:三角函数图像与性质型
对新定义的题型要注意一下几点:
(1)读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点
(2)利用好定义所给的表达式以及相关的条件
(3)含有参数是要注意分类讨论的思想.
1.(23-24高三北京昌平·)已知定义域为的函数满足:对于任意的,都有,则称函数具有性质.
(1)判断函数是否具有性质;(直接写出结论)
(2)已知函数,判断是否存在,使函数具有性质?若存在,求出的值;若不存在,说明理由;
(3)设函数具有性质,且在区间上的值域为.函数,满足,且在区间上有且只有一个零点.求证:.
2.(23-24·福建福州·)英国数学家泰勒发现了如下公式:,其中,此公式有广泛的用途,例如利用公式得到一些不等式:当时,,.
(1)证明:当时,;
(2)设,若区间满足当定义域为时,值域也为,则称为的“和谐区间”.
(i)时,是否存在“和谐区间”?若存在,求出的所有“和谐区间”,若不存在,请说明理由;
(ii)时,是否存在“和谐区间”?若存在,求出的所有“和谐区间”,若不存在,请说明理由.
【题型四】解三角形:求最大角度型
对于与简称为“正余余正,余余正正”
恒等变形和化简求角中,有如下经验:
1.正用\逆用;见A与B的正余或者余正,不够,找拆
2.边的齐次式,正弦定理转为角的正弦;
3.
解三角形:最值范围
可以用余弦定理+均值不等式来求解。
可以利用正弦定理,结合角与角所对应的边,转化为角的形式,再进行三角恒等边形,化一,求解最值与范围,要主语三角形是否有“锐角、钝角”三角形的角度范围限制
1.(23-24高三·浙江金华·阶段练习)记锐角的内角为,
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