第二型曲线积分论文.pdfVIP

目录

1引言1

2文献综述1

2.1国内外研究现状1

2.2国内外研究现状评价1

2.3提出问题2

3预备知识2

3.1第二型曲线积分的定义2

3.2第二型曲线积分的性质3

4第二型曲线积分的计算4

4.1直接计算4

4.2利用格林公式计算12

4.3利用曲线与路径无关计算14

4.4利用奇偶对称性计算16

4.5利用数学软件Mathmatic进行计算16

5结论19

5.1主要观点19

5.2启示19

5.3局限性19

5.4努力方向19

参考文献20

1引言

第二型曲线积分与第一型曲线积分相比有明显不同的几何意义和物理意义，第一型

曲线积分可以看成是定积分的计算，其意义较容易理解，计算也相对简单.而第二型曲

线积分又称为对坐标的积分，具有第一型曲线积分不具有的方向性，计算较为复杂，物

理意义十分明显，变力分别在轴，轴沿曲线做功，这在物理学上有着重要的应用.对xy

于不同类型的被积函数，对应的计算方法也不同.为了使计算更为简单，本文阐述了第

二类曲线积分的计算方法，不仅可以通过参数方程转化为定积分来计算，而且对于平面

曲线还可以通过格林公式转化为对二重积分的计算，第二类曲线积分还可以通过对称性

分奇偶两种情况简化计算或利用了数学软件Mathmatic进行计算.

2文献综述

2.1国内外研究现状

查阅相关文献，众多数学教育者从不同角度和侧面探讨了第二型曲线积分的计算.

刘玉琏在文献[1]中论述了第二形曲线积分的概念及其性质；富景龙在文献[2]中概括了

第二型曲线积分被积函数的类型；薛嘉庆在文献[3]中讲了被积函数的类型不同有不同

的计算方法，并给出了相应的例子；刘国均等在文献[4-5]中探究了第二型曲线积分可

以化为定积分来计算，并给出公式及相应的证明；刘莲芬等在文献[6-7]介绍了在第二

型曲线积分的计算中将路径的参数方程表示出来；王景克在文献[8-9]简述了做题常用

的技巧；陈先开在文献[11-12]研究了曲线积分与路径无关问题与如何判断曲线积分与

路径无关；陈文灯，黄先开在文献[13]中介绍了格林公式，并提供了一定的实例，并通

过实例总结了计算第二型曲线积分的一般步骤；武艳等在文献[14]给出利用对称性计算

第二型曲线积分，使得计算简单；阳明盛及林建华在文献[15]中提出了用数学软件

Mathemactica解题的调用格式，使得复杂的计算简单化.

2.2国内外现状评价

从上面相关的研究中可以看出，许多对第二型曲线积分计算的研究者从不同的方面

进行了相应的研究，但都只是从某一个方面进行讨论，大部分文献都没有结合数学软件

Mathmatic进行空间画图及计算.

1

2.3提出问题

对于第二型曲线积分的计算方法有多种，那么它的计算方法具体有哪些呢？本文在

参考相关文献的基础上对这一问题进行了综述，把数学软件Mathmatic也应用在其中，

并例举了一些具有针对性、典范性的例题.

3预备知识

为了更好的讲述第二型曲线积分的计算，我们下面来介绍第二型曲线积分的定义及

其相关性质.

3.1第二型曲线积分的定义

设平面上有光滑有向曲线C(A,B)二元函数f(x,y)在曲线C上有定义.用任意分法

T，将曲线依次分成个有向小弧：

Cn

⌒⌒⌒

AA，AA2,…，AA，其中AA,AB.

011n1n0n



⌒

设第个小弧的弦AA在轴与y轴上投影区间的长分别是x与y.

kAAx

k1kk1kkk

⌒



