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坐标系与参数方程(知识总结)

坐标系与参数方程专题

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坐标系与参数方程

【要点知识】

一、坐标系

1.平面直角坐标系中的伸缩变换

设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，我们把称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.

2.极坐标系

（1）极坐标系的概念

如图所示，在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样我们就建立了一个极坐标系.

（2）极坐标

设点是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的叫做点的极角，记为.我们把有序数对叫做点的极坐标，记为.

（3）极径、极角的取值范围

一般地，极径，极角.

3.极坐标与直角坐标之间的互化

如图所示，设点是平面内任意一点，记点的直角坐标为，极坐标为.我们可以得到极坐标与直角坐标之间如下关系：

（ⅰ）直角坐标化极坐标：，；

（ⅱ）极坐标化直角坐标：，（）.

【注】上面两类关系式是我们进行极坐标与直角

【注】直角坐标与柱坐标互化的变换公式：

（2）球坐标系

如图所示，建立空间直角坐标系，设点是空间中任意一点，连结，记，与轴正向所夹的角为，设点在平面上的射影为点，轴按逆时针方向旋转到时所转过的正角为，这样点的位置就可以用有序数组表示.我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系（或空间极坐标系）；相应地，把有序数组叫做点的球坐标，记作，其中，，.

【注】直角坐标与球坐标互化的变换公式：

二、参数方程

1.参数方程的概念

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标，都是某个变数的函数①，并且对于的每一个允许值，由方程组①所确定的点都在这条曲线上，那么我们就把方程组①叫做这条曲线的参数方程，而把联系变数，的变数叫做参变数，简称参数.

2.参数方程与普通方程之间的互化

曲线的参数方程与普通方程是曲线方程的两种不同形式.一般地，可以通过消去参数，由参数方程得到普通方程；反之，如果已知变数，中的一个与参数的关系，例如，则我们可以通过把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系，由此得到的方程组就是该曲线的参数方程.

【注】在解决参数方程与普通方程互化的问题时，必须要使，的取值范围保持一致.

3.几个简单曲线的参数方程

（1）圆的参数方程：圆心在原点，半径为的圆的参数方程为

（为参数）；

（2）椭圆的参数方程：中心在原点，焦点在轴上的椭圆的参数方程为（为参数）；

（3）双曲线的参数方程：中心在原点，焦点在轴上的双曲线的参数方程为（为参数），这里，是的正割函数，并且；

（4）抛物线的参数方程：以原点为顶点，以轴为对称轴，开口向右的抛物线（）（不包括原点）的参数方程为（为参数）；

（5）直线的参数方程：过点，倾斜角为（）的直线的参数方程为（为参数）；

（6）渐开线的参数方程：（为参数）；

（7）摆线的参数方程：（为参数）.