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中考数学中的二次函数的线段和差以及最值问题

二次函数与线段和差问题

例题精讲：如图抛物线y=ax2+bx+c(a≠0与x轴交于A,B（1,0），与y轴交于点

求抛物线解析式。

求顶点D的坐标与对称轴l.

设点E为x轴上一点，且AE=CE,求点E的坐标。

设点G是y轴上的一点，是否存在点G，使得GD+GB的值最小，若存在，求出G点坐标，若不存在，说明理由。

在直线l上是否存在一点F，使得△BCF的周长最小，若存在，求出点F的坐标及△BCF周长的最小值，若不存在，说明理由。

在y轴上是否存在一点S,使得SD-SB的值最大，若存在，求出S点坐标，若不存在，说明理由。

若点H是抛物线上位于AC上方的一点，过点H作y轴的平行线，交AC于点K，设点H的横坐标为h,线段HK=d

①求d关于h的函数关系式

②求d的最大值及此时H点的坐标

设点P是直线AC上方抛物线上一点，当P点与直线AC距离最大值时，求P点的坐标，并求出最大距离是多少？

2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点A，点B与点O关于点A对称。

（1）填空：点B的坐标是?。

（2）过点的直线（其中）与轴相交于点C，过点C作直线平行于轴，P是直线上一点，且PB=PC，求线段PB的长（用含k的式子表示），并判断点P是否在抛物线上，说明理由。

（3）在（2）的条件下，若点C关于直线BP的对称点恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标。

3.如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点O为坐标原点,点D为抛物线的顶点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3,.

(1)写出抛物线对应的函数解析式:△AOD的面积是

(2)连结CB交EF于M,再连结AM交OC于R,求△ACR的周长.

(3)设G(4,-5)在该抛物线上,P是y轴上一动点,过点P作PH垂直于直线EF并交于H,连接AP,GH,问AP+PH+HG是否有最小值?如果有,求点P的坐标;如果没有,请说明理由.

4.在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在轴、轴的正半轴上，，，D为边OB的中点．若、为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，求点、的坐标．

y

y

B

O

D

C

A

x

5.四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，

∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（），B（），D（3，0）．连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON．若抛物线经过点D、M、N．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值．

6.已知，如图，二次函数图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线对称．

（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线上；

（2）求二次函数解析式；

（3）过点B作直线BK∥AH交直线于K点，M、N分别为直线AH和直线上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．

7.如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线上．

（1）求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；

（2）平移抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点．

①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；

②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

4

4

x

2

2

A

8

-2

O

-2

-4

y

6

B

C

D

-4

4

8.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．

（1）求线段AB的长；

（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值；

（3）在（2）中，PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若