(6.1)--复变第二章复变函数与积分变换.ppt

作业P662(1)(2)3(2)(3)练习：P678本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它的解析性。练习：P6712（1）定理2函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析充要条件是u(x,y)和v(x,y)在D内可微，且满足Cauchy-Riemann方程由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来.利用该定理可以判断那些函数是不可导的.使用时:i)判别u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性，ii)验证C-R条件.iii)求导数：前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的,但是求复变函数的导数时要注意,并不是两个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.二.举例例1判定下列函数在何处可导，在何处解析：解(1)设z=x+iyw=x-iyu=x,v=-y则解(2)∵f(z)=ex(cosy+isiny)则u=excosy,v=exsiny仅在点z=0处满足C-R条件，故解(3)设z=x+iyw=x2+y2u=x2+y2,v=0则练习讨论下列函数的可导性与解析性.(1)f(z)=Im(z);(2)f(z)=|z|2z.解：(1)设z=x+iy,则f(z)=Im(z)=y.u(x,y)=y,v(x,y)=0都在复平面上可微.在复平面上u(x,y),v(x,y)不满足柯西-黎曼方程.所以f(z)=Im(z)在复平面上处处不可导,处处不解析.(2)设z=x+iy,则f(z)=(x2+y2)x+i(x2+y2)y.u(x,y)=(x2+y2)x,v(x,y)=(x2+y2)y都在复平面上可微整个复平面上仅在(0,0)点满足柯西-黎曼方程，所以f(z)=|z|2z仅在点(0,0)处可导，处处不解析.例2求证函数证明由于在z≠0处，u(x,y)及v(x,y)都是可微函数，且满足C-R条件：故函数w=f(z)在z≠0处解析，其导数为例3证明例4如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是一解析函数，且f?(z)≠0，那么曲线族u(x,y)=C1，v(x,y)=C2必互相正交，这里C1、C2常数.那么在曲线的交点处，i)uy、vy均不为零时，由隐函数求导法则知曲线族u(x,y)=C1，v(x,y)=C2中任一条曲线的斜率分别为解利用C-R方程ux=vy,uy=-vx有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=-1，即：两族曲线互相正交.ii)uy，vy中有一为零时，不妨设uy=0，则k1=∞，k2=0（由C-R方程）即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另一条是铅直的,它们仍互相正交。练习:a=2,b=-1,c=-1,d=21.指数函数2.对数函数3.乘幂与幂函数4.三角函数和双曲函数5.反三角函数与反双曲函数§2.3初等函数内容简介一.指数函数它与实变指数函数有类似的性质：定义这个性质是实变指数函数所没有的。(6)极限不存在，即无意义.复指数函数ez的性质：(2)在复平面上ez≠0.(3)当Im(z)=y=0时，则ez=ex.(4)当Re(z)=x=0时，则ez=eiy=cosy+isiny,此为欧拉公式.(5)ez在z平面上处处解析，且(ez)?=ez.例1例2例3二.对数函数定义指数函数的反函数称为对数函数。即，(1)对数的定义故特别(2)对数函数的性质见§1-6例1复对数函数的性质对于等式左边的多值函数的任一个值，等式右边的两个多值函数一定各有一个适当的值与之对应，使等式成立，反之亦然.也就是说，等式两端可能取值的函数值的全体是相同的.等式Lnzn=nLnz,不再成立，其中n≥2,为正整数.以n=2时为例进行说明。可见2Lnz与Lnz2的实部相等，但虚部的取值不完全相同2Lnz可能取值是Lnz2可能取值的一部分,所以等式L