离散数学-闭包.ppt

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2024-04-11 发布于四川
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CS173:

DiscreteMathematicalStructuresCindaHeerenheeren@cs.uiuc.eduSiebelCenter,rm2213OfficeHours:M11a-12p

CS173

AnnouncementsHwk#12available,due12/11,8aFinalExam:12/12,1:30-4:30pRoomassignmentsannouncedonwebEmailmewithconflictasapCs173-Spring2004

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ClosureConsiderrelationR={(1,2),(2,2),(3,3)}onthesetA={1,2,3,4}.IsRreflexive?WhatcanweaddtoRtomakeitreflexive?No(1,1),(4,4)R’=RU{(1,1),(4,4)}iscalledthereflexiveclosureofR.Cs173-Spring2004

CS173

ClosureDefinition:TheclosureofrelationRonsetAwithrespecttopropertyPistherelationR’withR?R’R’haspropertyP?SwithR?SandShaspropertyP,R’?S.P-Closureforarelationmightnotexist!IfrelationRhaspropertyPthenR’=R.Cs173-Spring2004

CS173

ReflexiveClosureLetr(R)denotethereflexiveclosureofrelationR.Thenr(R)=RU{}Fine,butdoesthatsatisfythedefinition?R?r(R)r(R)isreflexiveNeedtoshowthatforanySwithparticularproperties,r(R)?S.LetSbesuchthatR?SandSisreflexive.Then{(a,a):?a?A}?S(sinceSisreflexive)andR?S(given).So,r(R)?S.(a,a):?a?AWeaddededges!BydefnCs173-Spring2004

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SymmetricClosureLets(R)denotethesymmetricclosureofrelationR.Thens(R)=RU{}Fine,butdoesthatsatisfythedefinition?R?s(R)s(R)issymmetricNeedtoshowthatforanySwithparticularproperties,s(R)?S.LetSbesuchthatR?SandSissymmetric.Then{(b,a):(a,b)?R}?S(sinceSissymmetric)andR?S(given).So,s(R)?S.(b,a):(a,b)?RWeaddededges!BydefnCs173-Spring2004

CS173

TransitiveClosureLetc(R)denotethetransitiveclosureofrelationR.Thenc(R)=RU{}(a,c):?b(a,b),(b,c)?RExample:A={1,2,3,4},R={(1,2),(2,3),(3,4)}.Applydefinitiontoget:c(R)={(1,2),(2,3),(3,4),