数值分析(16)牛顿-柯特斯求积公式.ppt

辛卜生公式的几何意义是用抛物线y=P2(x)围成的曲边梯形面积代替由y=f(x)围成的曲边梯形面积图2。例：用Newton-Cotes公式计算解：当n取不同值时，计算结果如下所示。I准=0.9460831*数值分析数值分析*第七章数值积分与数值微分第一节???等距节点的Newton-Cotes求积公式第二节复化求积公式第三节???外推算法第四节???Gauss型求积公式第五节???数值微分引言由于被积函数的原函数F(x)不可能找到，牛顿-莱布尼兹公式也就无能为力了。下面推导插值型求积公式设x0,x1,…,xn∈[a,b],pn(x)是f(x)的n次Lagrange插值多项式则有插值型求积公式其中截断误差或余项为li(x)为Lagrange插值基函数。Ai(i=0,1,…,n)称为求积系数，xi(i=0,1,…,n)称为求积节点。一、牛顿—柯特斯求积公式的导出将积分区间[a,b]n等分，节点xi为xi=a+ih,i=0,1,2,…,n其中h=(b?a)/n。有第一节等距节点的牛顿—柯特斯求积公式当求积节点等距分布时，插值型求积公式称为牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式。其中Ci(n)称为柯特斯系数。于是牛顿—柯特斯求积公式为引进变换x=a+th,0≤t≤nxj=a+jh,j=0,1,2,…,n二、两种特殊的数值求积公式:（1）梯形公式(n=1)x0=a,x1=b,h=b-a,c0(1)=c1(1)=1/2梯形公式的几何意义是用四边梯形x0ABx1的面积代替曲边梯形的面积。xy0ABy=P1(x)y=f(x)f0f1x0=ax1=b图1（2）辛卜生公式(n=2)辛卜生公式又称为抛物线公式。x0=a,x1=a+h,x2=b,h=(b-a)/2C0(2)=1/6,C1(2)=4/6,C2(2)=1/6xyx0x2x1y=P2(x)y=f(x)0图2例：用梯形公式与辛卜生公式求的近似值。解：辛卜生公式I=0.7668010梯形公式87654321c8c7c6c5c4c3c2c1c0n三、牛顿—柯特斯系数例n=3为3/8辛卜生公式x0=a,x1=a+h,x2=a+2h,x3=b,h=(b-a)/3n=4为Cotes公式x0=a,x1=a+h,x2=a+2h,x3=a+3h,x4=b,h=(b-a)/40.946083050.946083040.946110930.946135920.92703541近似结果n四、代数精度定义1：若求积公式对一切不高于m次的多项式p(x)都等号成立，即R(p(x))=0;而对于某个m+1次多项式等号不成立，则称此公式的代数精度为m.代数精度求法从?(x)=1,x,x2,x3…依次验证求积公式是否成立，若第一个不成立的等式是xm,则其代数精度是m-1.代数精度越高，数值求积公式越精确定义2：若求积公式对?(x)=1,x,x2,x3…xm,都等号成立，即R(xi)=0;而对于xm+1等号不成立，则称此公式的代数精度为m.定义1定义2例1：证明下面数值求积公式具有1次代数精度.所以求积公式具有1次代数精度。例2：设有成立，确定A0、A1、A2，使上述数值求积公式的代数精度尽可能高，并求代数精度。解：分别取?(x)=1，x，x2，则有A0+A1+A2=2-A0+A2=0A0+A2=2/3解得A0=1/3，A1=