备战2024年高考数学第一轮题型归纳与解题 考点36 空间直线、平面的垂直13种常见考法归类（原卷版+解析）.docxVIP

考点36空间直线、平面的垂直13种常见考法归类

考点一线面垂直的判断

考点二证线面垂直

考点三利用空间向量法证线面垂直

考点四线面垂直的探索性问题

考点五直线与平面垂直性质的应用（证线线垂直）

考点六利用线面垂直求体积

考点七面面垂直的判断

考点八证面面垂直

考点九利用空间向量法证面面垂直

考点十面面垂直的探索性问题

考点十一面面垂直性质的应用

考点十二平行与垂直的综合问题

考点十三平行、垂直关系与几何体的度量

1.直线与平面垂直

(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.

(2)判定定理

文字语言

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.

图形语言

符号语言

l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，m∩n＝A?l⊥α.

(3)性质定理

文字语言

垂直于同一个平面的两条直线平行.

图形语言

符号语言

a⊥α，b⊥α?a∥b.

注：证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思路.

2.证明线面垂直的方法：

一是线面垂直的判定定理；

二是利用面面垂直的性质定理（α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l?β?l⊥α）；

三是平行线法（a∥b，a⊥α?b⊥α）：

若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面；

四是利用面面平行的性质（a⊥α，α∥β?a⊥β）：

一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直；

解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等．

常见证明线线垂直的常用方法：

（1）相交直线

①等腰三角形（等边三角形）的“三线合一”

如图：AB=AC,D为BC中点，则

②勾股定理的逆定理

如图：如果，则

③正方形、菱形的对角线互相垂直

如图：四边形ABCD是菱形，所以

④直径所对的圆周角是

如图：AB是圆的直径，

⑤相似（全等）转化出直角（需证明）

若在正方形ABCD中，E，F分别是BC和CD的中点，则有

证明如下：易证

⑥其他常见垂直关系

（1）正方形、矩形、直角梯形

（2）数量积为零转化垂直关系

（3）利用直二面角的定义得其平面角为直角

（2）异面直线

①通过证线面垂直证线线垂直

注：若题目要证已知且是异面直线，要证，一般是证所在的平面。

注：直棱柱的侧棱垂直于底面，圆柱的母线垂直于底面

②平移法

通过三角形的中位线或者构造平行四边形进行平移

4.平面与平面垂直

(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的大小可以用它的平面角度量.二面角的范围是[0°，180°].

(2)判定定理

文字语言

如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.

图形语言

符号语言

l⊥α，l?β?α⊥β.

(3)性质定理

文字语言

两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.

图形语言

符号语言

α⊥β，α∩β＝a，b?β，b⊥a?b⊥α.

三垂线定理

在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.

6.判定面面垂直的方法

①面面垂直的定义；

②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．

7．证面面垂直的思路

(1)关键是考虑证哪条线垂直哪个面．这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑．

(2)条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理，如已知两平面互相垂直，我们就要联系到两平面互相垂直的性质定理．

8．常用结论

（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

（2）垂直于同一条直线的两个平面平行.

（3）一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直.

（4）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.

9.垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型

（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.

（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.

（4）垂直、平行关系的相互转化

10.垂直与平行