行列式的计算技巧总结.docx

行列式的若干计算技巧与方法

目 录

摘要 1

关键字 1

行列式的概念及性质 2

n阶行列式的定义 2

行列式的性质 2

行列式计算的几种常见技巧和方法 4

定义法 4

利用行列式的性质 5

降阶法 7

升阶法（加边法） 9

数学归纳法 11

递推法 12

行列式计算的几种特殊技巧和方法 14

3.1拆行（列）法 14

构造法 17

特征值法 18

几类特殊行列式的计算技巧和方法 19

三角形行列式 19

“爪”字型行列式 19

“么”字型行列式 21

“两线”型行列式 22

“三对角”型行列式 23

范德蒙德行列式 25

行列式的计算方法的综合运用 26

降阶法和递推法 27

逐行相加减和套用范德蒙德行列式 27

构造法和套用范德蒙德行列式 28

小结 29

参考文献 30

学习体会与建议 31

摘要：行列式是高等代数的一个基本概念，求解行列式是在高等代数的学习中遇到的基本问题，每一种复杂的高阶行列式都有其独特的求解方法．本文主要介绍了求行列式值的一些常用方法和一些特殊的行列式的求值方法．如：化三角形法、降阶法和数学归纳法等多种计算方法以及Vandermonde行列式、“两线型”行列式和“爪”字型行列式等多种特殊行列式．并对相应例题进行了分析和归纳，总结了与每种方法相适应的行列式的特征．

关键词：行列式计算方法

行列式的概念及性质

n阶行列式的定义

我们知道，二、三阶行列式的定义如下：

a

11

a

21

a aaaa a a

a a

a

a

a

a12 =a a ?a a ，

a

11 22 12 21

22

11 12

a a

13

?? 11 22 33

?

a a a

12 23 31

a a

13

a

2132

21 22

a a

31 32

23 a a a

a 11 23 32

33

a a

12

a

2133

a a a .

13 22 31

从二、三阶行列式的内在规律引出n阶行列式的定义．

设有n2个数，排成n行n列的数表

a a

11 12

a a

21 22

? a

1n

? a

2n，

? ? ? ?

an1 an2 ? ann

即n阶行列式．这个行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积

⑴a a ?a

⑴

1j 2j nj

1 2 n

的代数和，这里jj?j

12 n

是1，2，?，n的一个排列,每一项⑴都按下列规

则带有符号：当jj?j

12 n

是偶排列时,⑴带正号；当jj?j

12 n

是奇排列

时,⑴带负号．即

a a

11 12

a a

21 22

? ?

? a

1n

? a ?

?? 2n =

?

??1???

aa?ajj?j

a

a

?a

2 n

1j 2j nj ，

a a ?

n1 n2

jj?j

a 12 n

nn

1 2 n

这里? 表示对所有n级排列求和.

jj?j

12 n

行列式的性质

性质1 行列互换，行列式不变．即

a a

11 12

a a

21 22

? a a

1n 11

?? a a

?

2n 12

a ? a

21

a ? a

22

n1

n2 .

? ? ? ? ?

a a ? a a

n1 n2 nn 1n

? ? ?

a ? a

2n nn

性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即

a a ? a

11 12 1n

a a ? a

11 12 1n

? ?

ka ka

i1 i2

? ?

a a

n1 n2

? ? ?

k? ka ? a

k

in i1

? ? ?

? a a

nn n1

? ? ?

.a ? a

.

i2 in

? ? ?

a ? a

n2 nn

性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列

b

b?c

1 1

b?c

b?c ? b

1

b

2

b ?c

n

1

c

2

c .

2

2

n

n

n

a

n1

a

n2

a

nn

a a

n1 n2

a

nn

a a

n1 n2

a

nn

aaaaaaa

a

a

a

a

a

a

a

a

a

11

12

1n

11

12

1n

11

12

1n

aa?aaa?a11121

a

a

?

a

a

a

?

a

11

12

1n

11

12

1n

?

?

?

?

?

?

?

?

a

i1

a

i2

?

a

in

a

i1

a

i2

?

a

in

?

?

?

?

?k

?

?

?

?

ka

i1

ka

i2

?

ka

in

a

i1

a

i2

?

a

in

?

?

?

?