行列式的计算技巧窍门与方法情况总结.docx

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行列式的若干计算技巧与方法

内容摘要

行列式的性质

行列式计算的几种常见技巧和方法

定义法

利用行列式的性质

降阶法

升阶法（加边法）

数学归纳法

递推法

行列式计算的几种特殊技巧和方法

拆行（列）法

构造法

特征值法

几类特殊行列式的计算技巧和方法

三角形行列式

“爪”字型行列式

“么”字型行列式

“两线”型行列式

“三对角”型行列式

范德蒙德行列式

行列式的计算方法的综合运用

降阶法和递推法

逐行相加减和套用范德蒙德行列式

构造法和套用范德蒙德行列式

1.2行列式的性质

性质1 行列互换，行列式不变．即

a a ?

11 12

a a a ? a

1n 11 21 n1

a a ?

21 22

a a a ?

?2n 12 22

?

a

n2 .

? ? ?

a a ?

n1 n2

? ? ? ? ?

a a a ? a

nn 1n 2n nn

性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即

a a ? a

11 12 1n

a a ? a

11 12 1n

? ? ? ?

? ? ? ?

ka ka

i1 i2

? ka

in

? a

ki1

k

a ? a

i2 in .

? ? ? ?

? ? ? ?

a a

n1 n2

? a a

nn n1

a ? a

n2 nn

性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即

aaK

a

a

K

a

a

a

K

a

a

a

K

a

11

12

1n

11

12

1n

11

12

1n

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

c b?c K b?c ? b

b

K

b

?

c

c

K

c

M M M M M

M

M

M

M

M

M

M

a a K a a

n1 n2 nn n1

a

n2

K

a

nn

a

n1

a

n2

K

a

nn

1 1 2 2

n n 1 2

.

n 1 2 n

性质4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即

a a ? a

11 12 1n

a a ? a

11 12 1n

? ? ? ? ? ? ? ?

a a ? a a a ? a

i1 i2 in i1 i2 in

? ? ? ??k ? ? ? ?=0.

ka ka ? ka a a ? a

i1 i2 in i1 i2 in

? ? ? ? ? ? ? ?

a a ? a

n1 n2 nn

a a ? a

n1 n2 nn

性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即

a a

11 12

? a a

1n 11

a ? a

12 1n

? ? ? ? ? ? ? ?

a ?ca

i1 k1

a ?ca

i2 k2

? a ?ca a

in kn i1

a ? a

i2 in

? ? ? ?

? ? ? ? ?.

a a

k1 k2

? a a

kn k1

a ? a

k2 kn

? ?

a a

n1 n2

? ? ? ? ? ?

? a a a ? a

nn n1 n2 nn

性质6 对换行列式中两行的位置，行列式反号.即

a

11

?

a

12

?

?

?

a

1n

?

a

11

?

a

12

?

?

?

a

1n

?

a

a

?

a

a

a

?

a

i1?i2?

i1

?

i2

?

in

? ?

k1

?

k2

? ?

kn

ak

a

k1

?

a

k2

?

?

?

a =-

kn

?

a

i1

?

a

i2

?

?

?

a

in

?

a

n1

a

n2

?

a

nn

a

n1

a

n2

?

a

nn

性质7 行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零．即

a a

11 12

? a a

1,n-1 1n

? ? ? ?

0 0 ? 0

? ? ? ?

a a ? a

n1 n2 n,n-1

?

0 ?0.

?

a

nn

2、行列式的几种常见计算技巧和方法

定义法

适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．

000100

0

0

0

1

0

0

2

0

0

3

0

0

4

0

0

0

解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有4！?24项，但由于出现很多的零，所以不

jjjj等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是a a a a

j

j

j

j

1 2 3 4

1 2 3 4

．显然，如

果j ?4，那么a ?0，从而这个项就等于零．因此只须考虑j ?4的项，同理只须考虑

1 1j