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平面向量的概念与线性运算知识点

.平面向量的有关概念

１．向量：既有大小，又有方向的量．

２．数量：只有大小，没有方向的量．

３．有向线段的三要素：起点、方向、长度．

４．零向量：长度为0的向量．

５．单位向量：长度等于1个单位的向量．

６．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．注：任一组平平行向量都可以平移到同一直线上

７．相等向量：长度相等且方向相同的向量．８．相反向量：长度相等且方向相反的向量

７．相等向量：长度相等且

方向相同的向量．

８．相反向量：长度相等且

方向相反的向量

向量的表示法

ruuur

１．字母表示法：如：a，AB等２．几何表示法：用一条有向线段表示向量

uuur

３．代数表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA的起点Ｏ是坐标原点，终点坐标是（x，

uuuruuur

y），则（x，y）称为OA的坐标，记作：OA＝（x，y）三．向量的运算

１．向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点．

rrr

⑶三角形不等式：arbarbarb．

r rr r

⑷运算性质：①交换律：arb bar；②结合律： arb crar bcr ；

rrrrr

③a00aa．

rruuuruuuruuur

abCC

⑸坐标运算：设a

⑸坐标运算：设ar

y

xrbra

则

y

x

rb

y

x

２．向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

⑵坐标运算：设ar

uuur

设、两点的坐标分别为x1,y1，x2,y2，则 x1x2,y1y2

３．向量数乘运算：

⑴实数与向量ar的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 ar．

①ar

0

0时，ar的方向与ar的方向相反；当

②当 0时，ar的方向与ar的方向相同；当

0时，ar0r．

⑵运算律：① ar ar；②

r r r rr

a a a；③ aba

共

共线

⑶坐标运算：设arx,y，则ar x,yx,y

４．向量共线定理：

向量ararr0与br共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使br ar．

rr

y1x1x2,y2，其中b0，则当且仅当x1y2x2y10时，向量ar、

y1

x1

四．跟踪训练

１．AOOBCA

OC

BO（）

A．AB B

．0

C．AC

D．BC

2）若

2）若a，b都是单位向量，则a＝b.

（1）零向量的长度为零，方向是任意的

uuuruuruAB与CD是共线向量，则A，

uuuruuru

AB与CD是共线向量，则

A，B，C，

3）向量AB与向量BA相等.（4）若非零向量

D四点共线.以上命题中，正确命题序号是

A.（1） B. （2） C. （1）和（3）D.（1）和（4）

uuuruuuruuuruuur

３．在四边形ABCD中，如果ABgCD0，ABDC，那么四边形ABCD的形状是

A.矩形B.菱形C.正方形D.直角梯形４．如图，在△ABC中，AD、BE、CF分别是BC、CA、AB上的中线，它们交于点G，则下列各等式中不正确的是

uuur2uuur

A.BGBE

3

B.

uuuruuuruuur1uuur1uuur

CG2GF C.DGAGD.DA

23

2uuur

FC

3

1uuur

BC

2

５．给出命题：

uuur

uuur

uuur

（1）在平行四边形ABCD中，

AB

AD

AC.

uuuruuur

（2）在△ABC中，若ABgAC

0，

则△

ABC是钝角三角形

1

1uuuruuur(ABDC).

（3）在空间四边形ABCD中，E,F分别是BC,DA的中点，则FE以上命题中，正确的命题序号是.