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高中数学压轴题复习——平面向量中范围、最值等综合问题（剖析版）

1、一方法综述平面对量中的最值与范围问题是一种典型的力量考查题，能有效地考查同学的思维品质和学习潜能，能综合考察同学分析问题和解决问题的力量，体现了高考在学问点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是依据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数（二次函数、三角函数）的最值或应用基本不等式，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面对量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合，应用图形的几何性质二解题策略类型一与向量的模有关的最值问题【例1】【安徽省黄山市2022届高三一模】如图，在中，为

2、上一点，且满意，若的面积为，则的最小值为（）ABCD【答案】B【解析】设，则三角形的面积为，解得，由，且C，P，D三点共线，可知，即，故.以所在直线为轴，以点为坐标原点，过点作的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，则，则，则（当且仅当即时取“=”）.故的最小值为.【教导迷津】三点共线的一个向量性质：已知O、A、B、C是平面内的四点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在一对实数、，使，且.【举一反三】1、【宁夏六盘山高级中学2022届高三下学期二模】如图，矩形中边的长为，边的长为，矩形位于第一象限，且顶点分别位于轴、轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值为（）ABCD【答案】B【解析】如图，设，

3、则由于所以则所以的最大值为所以选B2、【浙江省湖州三校2022年高考模拟】已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（）ABC5D【答案】B【解析】由题意可设,，因此表示直线上一动点到定点距离的和,由于关于直线的对称点为，所以选B.3、【四川省成都外国语学校2022届高三3月月考】在平面直角坐标系中，若，则的最小值是（）ABCD【答案】C【解析】由于，即，即，所以在以原点为圆心，半径为的圆上.得到三点共线.画出图像如下图所示，由图可知，的最小值等于圆心到直线的距离减去半径，直线的方程为，圆心到直线的距离为，故的最小值是，故选C.类型二与向量夹角有关的范围问题【例2】【四川省成都市试验外

4、国语学校2022届高三10月月考】已知向量与的夹角为，在时取得最小值若，则夹角的取值范围是_.【答案】【解析】，在时取得最小值解可得：则夹角的取值范围本题正确结果：【教导迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要留意变量之间的关系，进而得解【举一反三】1、非零向量满意=，则的夹角的最小值是【答案】【解析】由题意得，整理得，即，夹角的最小值为.2、【上海市2022年1月春季高考】在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为_【答案】【解析】由题意：，设，由于，则与结合，又与结合，消去，可得：所以本题正确结果：类型三与向量投影有

5、关的最值问题【例3】【辽宁省沈阳市郊联体2022届高三一模】若平面对量，满意|=|3|=2，则在方向上的投影的最大值为（）ABCD【答案】A【解析】由于，所以，在方向上的投影为，其中为，的夹角又，故设，则有非负解，故，故，故，故选A【教导迷津】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；（2）计算角，.特殊地，两个非零向量垂直的充要条件是.另外，的几何意义就是向量在向量的投影与模的乘积，向量在向量的投影为【举一反三】1、已知的外接圆的圆心为，半径为2，且，则向量在向量方向上的投影为()A.3B.C.-3D.【答案】B本题选择B选项.2、设，，，且，则在上的投影的

6、取值范围()A.B.C.D.【答案】D当时，当故当时，取得最小值为，即当时，，即综上所述故答案选类型四与平面对量数量积有关的最值问题【例4】【辽宁省鞍山市第一中学2022届高三一模】中，且，则的最小值等于ABCD【答案】C【解析】由题意知，向量，且，可得点D在边BC上，所以，则，即，所以时以C为直角的直角三角形如图建立平面直角坐标系，设，则，则，当时，则最小，最小值为故选：C【教导迷津】平面对量数量积的求法有：定义法；坐标法；转化法；其中坐标法是同学们最简单忽视的解题方法，要倍加