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"高中数学压轴题复习——与球相关的外接与内切问题（剖析版）"

1、一方法综述假如一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查同学的空间想象力量以及化归力量.讨论多面体的外接球问题，既要运用多面体的学问，又要运用球的学问，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径并且还要特殊留意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体.与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过

2、作截面来解决.假如外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.当球与多面体的各个面相切时，留意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积来求球的半径.二解题策略类型一构造法（补形法）【例1】已知是球上的点，,，,则球的表面积等于_【答案】【解析】由已知S,A,B,C是球O表面上的点，所以，又，，所以四周体的外接球半径等于以长宽高分别以SA,AB,BC三边长为长方体的外接球的半径，由于，,所以，所以球的表面积.【教导迷津】当一三棱锥的三侧棱两两垂直时，可将三棱锥补成一个长方体，将问题转化为长方体（正

3、方体）来解.长方体的外接球即为该三棱锥的外接球.【例2】【辽宁省鞍山一中2022届高三三模】刘徽九章算术商功中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做阳马如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（）ABCD【答案】B【解析】由题意可知阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个底面，四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球，由三视图可知四棱锥的底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为1，长方体的一个顶点处的三条棱长分别为1，1，1，长方体的对角线为，外接球的半径为，外接球的体积为.故选：B【教导迷津】当一四周体或三棱锥的棱长相等时，可以构造正方体，在正方体中构造三棱

4、锥或四周体，利用三棱锥或四周体与正方体的外接球相同来解即可.【举一反三】1、【山东省济宁市2022届高三一模】已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为ABCD【答案】C【解析】如图所示，将直三棱柱补充为长方体，则该长方体的体对角线为，设长方体的外接球的半径为，则，,所以该长方体的外接球的体积，故选C.2、【辽宁省师范高校附属中学2022届高三上学期期中】在三棱锥中，则三棱锥外接球的表面积为（）ABCD【答案】C【解析】解：如图，把三棱锥补形为长方体，设长方体的长、宽、高分别为，则，三棱锥外接球的半径三棱锥外接球的表面积为故选：C3、【河

5、南省天一大联考2022届高三阶段性测试（五)】某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（）ABCD【答案】C【解析】由三视图可得，该几何体为一个三棱锥，放在长、宽、高分别为2，1，2的长方体中，此三棱锥和长方体的外接球是同一个，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处，易得其外接球的直径为，从而外接球的表面积为.故答案为：C.类型二正棱锥与球的外接【例3】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）ABCD【答案】A【教导迷津】

6、求正棱锥外接球的表面积或体积，应先求其半径，在棱锥的高上取一点作为外接球的球心，构造直角三角形，利用勾股定理求半径.【举一反三】1、球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，ABC是边长为2的正三角形，平面SAB平面ABC，则棱锥SABC的体积的最大值为()A.B.C2D4【答案】A【解析】(1)由于平面SAB平面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，依据球的对称性可知，当S在“最高点”，即H为AB的中点时，SH最大，此时棱锥SABC的体积最高校科*网由于AB