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高中数学压轴题复习——临界知识问题（剖析版）

1、【方法综述】对于临界学问问题，其命题大致方向为从形式上跳出已学学问的旧框框，在试卷中临时定义一种新学问，要求同学快速处理，准时把握，并正确运用，充分考查同学独立分析问题与解决问题的力量，多与函数、平面对量、数列联系考查.另外，以高等数学为背景，结合中学数学中的有关学问编制综合性问题，是近几年高考试卷的热点之一，常涉及取整函数、最值函数、有界函数、有界泛函数等.【解题策略】类型一定义新知型临界问题【例1】用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B若A1,2，Bx|(x2ax)(x2ax2)0，且A*B1，设实数a的全部可能取值组成的集合是S，则C(S)等于()A1B3C5D

2、7【答案】B【教导迷津】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后依据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解力量有肯定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学学问，所以说“新题”不肯定是“难题”，把握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.【举一反三】1.【北京市顺义区2022届高三其次次统练】已知集合，若对于，，使得成立，则称集合是“互垂点集”给出下列四个集合：；其中是“互垂点集”集合的为()ABCD【答案】D【解析】设点是曲线上的两点，对于集合，当时，，不成立所以

3、集合不是“互垂点集”.对于集合，当时，不成立所以集合不是“互垂点集”.对于集合，当时，，不成立，所以集合不是“互垂点集”.排解A,B,C.故选：D2.【陕西省2022届高三其次次检测】已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“垂直对点集”.给出下列四个集合：其中是“垂直对点集”的序号是_.【答案】【解析】对于，即，与的值域均为，故正确；对于,若满意，则，在实数范围内无解，故不正确；对于，画出的图象，如图，直角始终存在，即对于任意，存在，使得成立，故正确；对于，取点，曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线相互垂直，所以不是“垂直对点集”,故不正确，故答案为.类型二高等数学背

4、景型临界问题【例2】设S是实数集R的非空子集，若对任意x，yS，都有xy，xy，xyS，则称S为封闭集下列命题：集合Sab|a，b为整数为封闭集；若S为封闭集，则肯定有0S；封闭集肯定是无限集；若S为封闭集，则满意STR的任意集合T也是封闭集其中真命题是_(写出全部真命题的序号)【答案】【举一反三】【湖南省衡阳市2022届高三二模】若两函数具有相同的定义域、单调区间、奇偶性、值域，则称这两函数为“亲热函数”.下列三个函数，中，与函数不是亲热函数的个数为（）A0B1C2D3【答案】B【解析】易知幂函数定义域为，偶函数，在上，在上，.四个选项中函数的定义域都为且都为偶函数，单调性也与保持全都，因

5、为明显在上递增，又，递增，当，除（明显）外，其他函数的值都趋向于.故选B.类型三立体几何中的临界问题立体几何的高考题中，最主要考查点是几何元素位置关系及角、距离的计算、三视图等，除此之外，还有可能涉及到与立体几何相关的临界学问，如立体几何与其他学问的交汇，面对这些问题，需要有较强的分析推断力量及思维转换力量，还需要我们对这些问题作一些分析归类，加强学问间的联系，才能让所学学问融会贯穿.【例3】点为棱长是的正方体的内切球球面上的动点，点满意，则动点的轨迹的长度为_【答案】【举一反三】已知正方体的体积为1，点在线段上（点异于、两点），点为线段的中点，若平面截正方体所得的截面为四边形，则线段的取值

6、范围为（）ABCD【答案】B【解析】依题意，当点为线段的中点时，由题意可知，截面为四边形，从而当时，截面为四边形，当时，该截面与正方体的上底面也相交，所以截面为五边形，故线段的取值范围是，故选B【强化训练】一、选择题1.已知集合2，3，集合是集合A的子集，若且2，满意集合B的个数记为，则A9B10C11D12【答案】B【解析】由题意可得，那么集合2，3，4，5，6，；集合，满意集合B的个数列排列出来，可得：3，3，3，4，4，；5，4，4，5，5，故选：B2【河南省郑州市2022年高三其次次质量检测