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广东省深圳市深圳中学2024届高三一月阶段测试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设集合，，则（????）

A． B． C． D．

2．复数（????）

A． B． C． D．

3．已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为（????）

A． B． C． D．

4．已知，则函数的最大值为（????）

A． B．

C． D．

5．在数列中，，，，则（????）

A． B．1 C． D．4

6．为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（????）（参考数据：）

A．15次 B．16次 C．17次 D．18次

7．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P是C上的一点，，的平分线与x轴交于点A，记，的面积分别为，，且，则C的离心率为（????）

A． B． C． D．3

8．设，则（????）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．甲、乙两位射击爱好者，各射击10次，甲的环数从小到大排列为4，5，5，6，6，7，7，8，8，9，乙的环数从小到大排列为2，5，6，6，7，7，7，8，9，10，则（????）

A．甲、乙的第70百分位数相等

B．甲的极差比乙的极差小

C．甲的平均数比乙的平均数大

D．甲的方差比乙的方差大

10．已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论错误的是（????）

A．数列是递增数列 B．

C．当取得最大值时， D．

11．已知分别为双曲线的左?右焦点，为坐标原点，以为直径的圆在第二象限内交于点，且直线的斜率小于，则双曲线的离心率可能为（????）

A． B． C．4 D．6

12．如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是，则（???）

??

A．这两个球体的半径之和的最大值为

B．这两个球体的半径之和的最大值为

C．这两个球体的表面积之和的最大值为

D．这两个球体的表面积之和的最大值为

三、填空题

13．已知的展开式中常数项为20，则实数m的值为．

14．已知函数的图象过点，若在内有4个零点，则a的取值范围为．

15．已知点是椭圆上的三点，坐标原点是的重心，若点，直线的斜率恒为，则椭圆的离心率为.

16．设函数，若关于的函数恰好有四个零点，则实数的取值范围是.

四、解答题

17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．

(1)求的大小；

(2)若，，直线PQ分别交AB，BC于P，Q两点，且把的面积分成相等的两部分，求的最小值．

18．已知数列中，，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

19．如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，点在棱上.

(1)证明：平面平面；

(2)当时，求二面角的余弦值.

20．甲乙两人进行投篮比赛，两人各投一次为一轮比赛，约定如下规则：如果在一轮比赛中一人投进，另一人没投进，则投进者得分，没进者得分，如果一轮比赛中两人都投进或都没投进，则都得0分，当两人各自累计总分相差4分时比赛结束，得分高者获胜．在每次投球中甲投进的概率为0.5，乙投进的概率为0.6，每次投球都是相互独立的．在每一轮比赛中，记甲得1分的概率为，乙得1分的概率为，两人都得0分的概率为.

(1)求的值；

(2)若两人起始分都为0分，求恰好经过4轮比赛，甲获胜的概率．

21．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，点P在C上（异于A，B两点），直线，的斜率之积为，点在C上．

(1)求C的方程；

(2)过椭圆C的右焦点F的直线与C交于D，E两点，过线段的中点G作直线的垂线，垂足为N，记的面积为S，直线，的斜率分别为，，求证：为定值．

22．已知函数且.

(1)讨论的单调性；

(2)若，求证：，.

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