首届全国大学生数学竞赛类决赛试卷参考答案--非数学.doc

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首届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案

（非数学类，2010）

1）求极限.

2）计算，其中为下半球面的上侧，为大于0的常数.

3）现要设计一个容积为的一个圆柱体的容器.已知上下两底的材料费为单位面积元，而侧面的材料费为单位面积元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少？

4）已知在内满足，求.

解1）记，则

.

2）将（或分片后）投影到相应坐标平面上化为二重积分逐块计算。

其中为平面上的半圆。利用极坐标，得

，

其中为平面上的圆域。利用极坐标，得

。

因此，。

3）设圆柱容器的高为,上下底的径为，则有

。

所需费用为

显然，。

那么，费用最少意味着，也即

这时高与底的直径之比为。

4）由得

，令，得

。

二、（共10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）求下列极限

(1) ；(2),其中.

解(1)我们有

因此，。

(2)由泰劳公式有

,

因此，

,

.

令，上式可改写成

显然，，

所以，

.

三、（10分）设在点附近有定义，且在点可导，并已知.求.

解由题设可知：

。

令，那么当时，，

故由上式有

可见，

最后一步的极限可用常规的办法洛比达法则或泰劳展开求出。

四、（10分）设在上连续，并且无穷积分收敛.求.

解设，并令。

这时，，并有。

对于任意的，我们有

根据洛比达法则和变上限积分的求导公式，不难看出

因此，。

五、（共12分）设函数在上连续，在内可微，且.证明：(1)存在一个使得；(2)存在一个使得.

证明(1)令,则在上连续，且有

所以，存在一个，使得，即。

(2)令，那么。

这样，存在一个，使得，即

.

也即.证毕。

六、（14分）设为整数，

.

证明：方程在内至少有一个根.

证明：因为

故有

下面只需证明即可。我们有

由此推出

记，那么。我们观察下面的方阵

整个矩阵的所有元素之和为

基于上述观察，由（*）式我们便得到

,证毕.

七、（12分）是否存在中的可微函数使得

？

若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明.

解不存在。

假设存在中的可微函数使得

。

考虑方程，

即，

或。

此方程有惟一实数根，即有惟一不动点。

下面说明也是的不动点。

事实上，令，则，因此。如所需。

记，则一方面，；

另一方面，，从而。矛盾。

所以，不存在中的可微函数使得。证毕。

解法二：满足条件的函数不存在.

理由如下

首先，不存在，使有界，否则有界，矛盾.

因此

.从而由连续函数的介值性有或.

若则，矛盾.

若，则，矛盾.

因此，无论哪种情况都不可能.

八、(12分)设在上一致连续，且对于固定的，当自然数时.证明函数序列在上一致收敛于0

证：由于在上一致连续，故对于任意给定的，存在一个使得

取一个充分大的自然数，使得，并在中取个点:

，

其中。这样，对于每一个，

。

又由于，故对于每一个，存在一个使得

，

这里的是前面给定的。

令，那么

，

其中。设是任意一点，这时总有一个使得。

由在上一致连续性及可知，

另一方面，我们已经知道

这样，由后面证得的两个式子就得到

注意到这里的的选取与点无关，这就证实了函数序列在上一致收敛于0.