首届全国大学生数学竞赛赛区赛试卷参考答案--数学类.doc

首届全国大学生数学竞赛赛区赛试卷参考答案

（数学类，2009）

一、（15分）求经过三平行直线，，的圆柱面的方程.

解：先求圆柱面的轴的方程.由已知条件易知，圆柱面母线的方向是，且圆柱面经过点，过点且垂直于的平面的方程为：.

与三已知直线的交点分别为

圆柱面的轴是到这三点等距离的点的轨迹，即

，

即

，

将的方程改为标准方程

.

圆柱面的半径即为平行直线和之间的距离.

为上的点.

对圆柱面上任意一点，有，即

，

所以，所求圆柱面的方程为：

.

二、（20分）设是复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域上的线性空间，.

（1）假设，若，证明：

；

（2）求的子空间的维数.

（1）的证明:记，.要证明，只需证明与的各个列向量对应相等即可.若以记第个基本单位列向量.于是，只需证明：对每个，.

若记，则.注意到，

（*）

由

知

所以，.

（2）解：由（1），，

设，等式两边同右乘，利用（*）得

因线性无关，故，

所以，线性无关.因此，是的基，特别地，.

三、（15分）假设是复数域上维线性空间（），是上的线性变换.如果，证明：的特征值都是0，且有公共特征向量.

证明：假设是的特征值，是相应的特征子空间，即.于是，在下是不变的.

下面先证明，=0.任取非零，记为使得线性相关的最小的非负整数，于是，当时，线性无关

时令,其中，.因此，（），并且，.显然，，特别地，在下是不变的.

下面证明，在下也是不变的.事实上，由，知

根据

用归纳法不难证明，一定可以表示成的线性组合，且表示式中前的系数为.

因此，在下也是不变的，在上的限制在基下的矩阵是上三角矩阵，且对角线元素都是，因而，这一限制的迹为.…..（10分)

由于在上仍然成立，而的迹一定为零，故，即=0.

任取，由于，，所以，.因此，在下是不变的.从而，在中存在的特征向量，这也是的公共特征向量.

四、（10分）设是定义在上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛，并在上满足.（1）证明在上一致收敛；（2）设，问是否一定在上处处可导,为什么？

证明：（1），将区间等分，分点为，使得.由于在有限个点上收敛，因此，，使得对每个成立.

于是，设，则

，

.

（2）不一定.

令，则在上不能保证处处可导.

五、（10分）设，证明发散.

解：

，

.

因此，由此得到发散.

六、（15分）是上二次连续可微函数，满足，计算积分

.

解：采用极坐标，则

七、（15分））假设函数在上连续，在内二阶可导，过点，与点的直线与曲线相交于点，其中.证明：在内至少存在一点，使.

证明：因为在上满足中值定理的条件，故存在，使.

由于C在弦上，故有

=.

从而.

同理可证，存在，使.

由，知在上满足定理的条件，所以存在，使.