湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二上学期第二次阶段性检测（12月）数学试卷及答案.docx

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湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二上学期第二次阶段性检测（12月）数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（????）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

2．已知集合，则（????）

A． B． C． D．

3．设是定义在上的奇函数，则（????）

A． B．0 C．1 D．2

4．已知直线与直线，若，则直线的倾斜角为（????）

A． B． C． D．或

5．已知为等差数列的前项和，若，则（????）

A．26 B．27 C．28 D．29

6．函数在区间上单调递减，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

7．已知，则（????）

A． B．

C． D．

8．已知双曲线的右焦点为，过点且斜率为3的直线与双曲线分别交于两点，若是线段的中点，且，则双曲线的渐近线方程为（????）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．树人中学为了解高二年级学生每天的体育活动时间，随机抽取200名学生统计每天体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成六组，对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（????）

A．

B．这200名学生每天体育活动时间的众数是55

C．这200名学生每天体育活动时间的中位数小于60

D．这200名学生中有60人每天体育活动时间低于50分钟

10．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且弦的中点到直线的距离为6，则（????）

A．

B．两点到抛物线的准线的距离之和为12

C．线段的长为12

D．的最大值为36

11．如图，在棱长为2的正方体中，点在平面内且，则以下结论正确的是（????）

A．异面直线与所成的角是

B．三棱锥的体积为

C．存在点，使得

D．点到平面距离的最小值为

12．已知，下列说法正确的是（????）

A．函数的图象关于点对称

B．函数的最小正周期为

C．若，则在上存在极大值

D．时，

三、填空题

13．设是等比数列，且，则．

14．若圆上恰有四个点到直线的距离等于1，则的取值范围为．

15．如图，在三棱锥中，，点在线段上，且，则直线与直线所成角的余弦值为．

16．已知函数，若方程恰有5个不等实根，则实数的取值范围是．

四、解答题

17．在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．假设每场比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，且各场比赛结果相互独立．比赛方案采用五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）．

(1)求前2场比赛中，甲至少赢得一场的概率；

(2)已知前2场比赛甲、乙各胜一场，求最终甲获胜的概率．

18．已知的内角所对的边分别是，已知．

(1)求角；

(2)若的面积为，求取最小值时的周长．

19．已知数列的首项，且满足．

(1)求证：数列为等比数列；

(2)记，求数列的前项和．

20．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是正三角形，．

(1)求证：平面平面；

(2)直线上是否存在点，使得直线与平面所成角为若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

21．已知椭圆的离心率为，且经过点．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点作直线交椭圆于两点，试问以为直径的圆是否恒过定点？若过定点，求出定点；若不过定点，说明理由．

22．已知．

(1)当时，证明：在上单调递增；

(2)若恒成立，求的取值范围．

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参考答案：

1．D

【分析】由复数的四则运算以及它的几何意义即可求解.

【详解】由题意，所以，所以在复平面内对应的点为，它在第四象限.

故选：D.

2．A

【分析】解一元二次不等式结合对数函数定义域以及交集的概念即可求解.

【详解】由题意，所.

故选：A.

3．C

【分析】由奇函数的定义可得，代入计算即可得到结果.

【详解】因为是定义在上的奇函数，则，

即，

∴，

∴，则，

故选：C.

4．C

【分析】由条件建立关于的方程，即可求解，进而得出直线的倾斜角.

【详解】∵直线与直线，，

∴，解得，

当时，，，符合题意，

当时，，，两直线重合，不符合题意，

故，，其斜率为，

设直线的倾斜角为，则，又，则.

故选：C.

5．B

【分析】由题意得成等差数列，结合条件求解即可.

【详解】由题意得成等差数列，

∴，又，