全等三角形-提高篇(更新版).doc

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全等三角形的有关证明（提高篇）

关键：三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边（角）放入正确的三角形中”，去说明“相等的边（角）所在的三角形全等”，利用三角形全等来说明两个角相等（两条边相等）是初中里面一个非常常见而又重要的方法。

要说明两边相等，两角相等，最常用的方法就是说明三角形全等

直角三角形的全等问题：直角三角形的研究是整个中学几何图形部分里的重点！

直角三角形有关的全等问题中，除了特用的HL定理之外，在条件的寻找上首先就有了一组直角相等；而多个直角，多个垂直的图形组合在一块时，就很容易利用“同（等）角的余角相等”来得到其他的角相等。

图

图1

例一：图1，已知DO⊥BC，OC=OA，OB=OD，问CD=AB吗？

[分析]：此图形可看作绕O点旋转得到，由垂直得到一组直角，

把结合其他两组边，很容易找到他们所在的三角形。

[变形1]：请说明△BCE是直角三角形。

（利用全等三角形的对应角相等，以及直角三角形的两个锐角互余这两个性质进行代换和转换）

解：易得△AOB≌△COD（此过程较简单，略过不描述）

∴∠B=∠D（全等三角形的对应角相等）

又∠OAB=∠DAE（对顶角相等）

而在Rt△AOB中，∠OAB+∠B=90°（直角三角形的两个锐角互余）

∴∠DAE+∠D=90°（等量代换）

∴在△ADE中，∠DEA=180°（∠DAE+∠D）=90°（三角形内角和定理）

AFBCED∴

A

F

B

C

E

D

故△BCE是直角三角形

[变形2]：（2008威海）把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，

连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F．求证：AF⊥BE．

[分析]：此图中要说明AF⊥BE，与上题中△BCE是直角三角形是一样的意思，

只需要说明∠BFD=90°即可

[变形3]：两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，在同一条直线上，连结CD．（彩图为提示）

（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；

图2图1（2）证明：CD⊥BE

图2

图1

图

图2

A

B

C

E

H

D

[变形4]、如图2，在△ABC中，高AD与BE相交于点H，且AD=BD，

问△BHD≌△ACD，为什么？

[分析]：此题实际上就是[变形1]的反问，已经存在一组直角（由垂直得到），

一组相等的边（已知），再利用“同（等）角的余角相等”来得到第二组角相等！

图

图3

A

C

M

E

F

B

D

[变形5]：如图3，已知ED⊥AB，EF⊥BC，BD=EF，问BM=ME吗？说明理由。

图4[变形6]：如图4，AD是一段斜坡，AB是水平线，现为了测斜坡上一点D的竖直高度DB的长度，欢欢在D处立上一竹竿CD，并保证CD⊥AD，然后在竿顶C处垂下一根绳CE，与斜坡的交点为点E，他调整好绳子CE的长度，使得CE=AD，此时他测得DE=2米，于是他认定DB的高度也为2米

图4

图5例二：如图1，已知，AC⊥CE，AC=CE，∠ABC=∠CDE=90°

图5

问BD=AB+ED吗?

[分析]：

（1）凡是题中的垂直往往意味着会有一组90°角，得到一组等量关系；

图6

图6

（3）由全等得到边相等之后，还要继续往下面想，这几组相等的边能否组合在一起：

如如图6，除了得到三组对应边相等之外，还可以得到AC=BD。

解答过程：得到△ABC≌CDE之后，可得到BC=DE，AB=CD

∴BC+CD=DE+AB（等式性质）

图7即：BD=AB+DE

图7

[变形1]：如图7，如果△ABC≌△CDE，请说明AC与CE的关系。

[注意]：两条线段的关系包括：大小关系（相等，一半，两倍之类）

位置关系（垂直，平行之类）

[变形2]：（2008泸州）如图，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过点A作FA⊥AE交CB的延长线于点F，

求证：DE=BF

[分析]：注意图形中有多个直角，利用同角的余角相等或等式性质可到一组锐角相等。

[变形3]：如图8，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的直线，BD⊥AE，CE⊥AE，

图8

图8

[分析]：说明相等的边所在的三角形全等，

题中“AB=AC”，发现：AB在Rt△ABD中，AC在Rt△CAE中，

所以尝试着去找条件，去说明它们所在的两个Rt△全等（如图9）

于是：已经存在了两组等量关系：AB=AC，直角=直角，

再由