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专题44数列 数列的通项1（观察法、前n项和求通项）
【考点讲解】
一、具本目标：
掌握用不同的数学方法求不同形式数列的通项公式.通过数列通项公式的求解过程,利用数列的变化规律,
恰当选择方法,是数列的研究和探索奠定基础.
二、知识概述：
1.数列的通项公式：
n n
（1）如果数列 a 的第 项与序号 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通
n
项公式．即a f n ,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.
n
n
a S a
（2）数列 的前 项和 和通项 的关系： .
n n n
2.求数列的通项公式的注意事项：
n
（1）根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与 之间的关系、规律，
n
可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用 1 或
n1
1 来调整．
（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由
不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.
（3）对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，
写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所
给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序
号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.
3.数列通项一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；
S S S a
（2）已知 ，求通项，破解方法：利用 - = ，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值
n n n-1 n
得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。
n S
3.已知数列 a 的前 项和 ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：
n n
a S a
(1)先利用 求出 ；
1 1 1
n 1 S n a S S (n 2) n 2 a
(2)用 替换 中的 得到一个新的关系，利用 便可求出当 时 的表达式；
n n n n1 n
n 1 n 2 a
(3)对 时的结果进行检验，看是否符合 时 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合
n
写；如果不符合，则应该分n 1 与n 2 两段来写．
【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结
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