留数定理在多值函数积分计算中的应用与研究.docVIP

PAGE PAGE IV 海 南 大 学 毕 业 论 文（设计） 题 目： 留数定理及其在多值函数积分计算中的应用研究 学 号： 20131614310034 姓 名： 王 子 玉 年 级： 2013级 学 院： 信息科学技术学院 系 别： 数 学 系 专 业： 信息与计算科学 指导教师： 孙 建 强 完成日期： 2017年 4 月 30 日 摘要 本文首先在介绍留数定义及留数定理，并介绍了留数的计算方法等。在此基础上，我们叙述并证明了本文的主要内容--留数定理，并得到留数定理的推广。然后利用留数定理探讨分析学中的积分计算问题，并利用积分技巧得到它们的一般计算方法和公式，进而更简捷的解决了分析学中积分的计算问题. 关键字：留数定理；多值函数定积分；应用 目 录 TOC \o "1-3" \h \z \u 绪论 1 1基础知识 3 1.1留数定义及留数定理 3 1.1.1 留数的定义 3 1.1.2 留数定理 3 1.2 复积分 4 1.3 函数极点 5 2 留数的计算方法 7 2.1 留数 7 2.2 留数的计算方法 7 2.3 有限远点留数的计算方法 9 2.3.1 若为的可去奇点 9 2.3.2 若为的一阶极点 10 2.3.3 若为的阶极点 10 2.3.4 当为的本性奇点时 10 2.3.5 有限远点留数计算典型实例 10 2.4无限远点处的留数计算方法 12 3留数定理的推广 13 3.1留数定理 13 3.2 留数定理的推广 14 4 留数定理的应用 15 4.1复积分的计算 15 4.2实积分的计算 17 4.2.1 计算型积分 17 4.2.2 计算型积分 20 4.2.3 计算型积分 21 4.2.4　形如和型积分 23 4.3计算积分路径上有奇点的积分 25 5通过留数定理推出其他的重要公式 26 5.1留数定理推出柯西-古萨定理 26 5.2留数定理推出高阶导数公式 27 6总结 28 参考文献 29 致谢 30 PAGE PAGE 5 绪论 数学是来源于人类的社会实践活动，比如商业活动，工农业生产活动，军事行动和科学技术研究等等的一门学科。反过来，数学又服务于实践，并且在各个领域中都起着非常重要的作用。如果没有运用数学，任何一个科学技术的分支都不可能正常的发展。所以数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的一个庞大的系统。大体来说，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范畴；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。数学中各个分支的发生和发展，基本上都是围绕着这三大类数学进行的。因而这三大类数学就构成了整个数学的本体与核心，在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，从而出现了许多边缘学科和交叉学科。而代数，就是运用文字符号来代替数字的一种数学方法。 留数，也称残数，是指函数在其孤立奇点处的积分. 综观复分析理论的早期发展，这一概念的提出对认识孤立奇点的分类及各类奇点之间的关系具有十分重要的意义. 同时，它将求解定积分的值的方法推进到一个新的阶段，通过函数的选取，积分路径的选取等等，求解出了许多被积函数的原函数解不出来的情况，为积分理论的发展奠定了充分的基础[1]. 1825 年，柯西(Cauchy) 在其《关于积分限为虚数的定积分的报告》中，基于与计算实积分问题的情形的类比，处理了复积分的相关问题，并给出了关于留数的定义. 随后，柯西进一步发展和完善留数的概念，形成了如下定义: 若函数在上全纯，其中. 为的孤立奇点， 在的留数定义为. QUOTE 柯西所给的这一定义一直沿用到了现在，推广到了微分方程，级数理论及其他一些学科， 并在相关学科中产生了深远影响， 成为一个极其重要的概念. 因而很自然地产生了这样一个问题:柯西为什么要定义这一概念或者说，什么因素促使柯西提出