国家开放大学高等代数专题研究形成性考核册.doc

高 等 代 数 专 题 研 究 形成性考核册 教育教学部 编高等代数专题研究作业题（一） 一. 填空题 设，，若除以后余式等于 ，则，. 当，时，. 在有理数域上是否可约 . 多项式的有理根为 . 实数域上的不可约多项式的次数最高是 次的. 二. 单项选择题 1. 若多项式与互素，则（ ）. A. ，； B. ； C. ； D. 存在，使得. 2. 设是有理数域上的多项式，是实数域，是复数域，则（ ）. A. 若在上不可约，则在上不可约； B. 若在上有重因式，则在上必有重根； C. 若在上有重因式，则在上必有重根； D. 若在上不可约，则在上可约. 3. 下列结论正确的是（ ）. A. 多项式的不可约与系数域有绝对的关系； B. 多项式的不可约与系数域时而有关系，时而无关系； C. 多项式的不可约与系数域无关； D．多项式的不可约与多项式的次数有关. 4. 下列结论正确的是（ ）. A. 可约一定有根； B. 不可约一定无根； C. 有根一定可约； D. 无根未必不可约. 5. 整数集上的代数运算是（ ）. A. ； B. ； C. ； D. . 三. 计算题 1. 用除，求商及余式： ， 2. 求，使 ， 3. 分别求多项式在实数域和复数域上的标准分解式. 4. 求多项式的有理根. 5. 已知多项式有一根，试求的所有根. 四. 证明题 1. 用数学归纳法证明二项式定理 ， 其中表示个元素中取个元素的组合数. 2. 设有多项式，，，且. 若，且，则. 3. 设，，且，证明：. 4. 已知，，为非负整数，求证. 5. 设是整系数多项式，证明：如果，都是奇数，则无整数根. 高等代数专题研究作业题（二） 一. 填空题 1. 两个同构的线性空间的维数是 . 2. 线性空间的维数是 . 3. 向量组线性相关，则 . 4. 同一线性空间的两个基所含向量的个数 . 5. 设与是的两个线性子空间. 如果和+中的每个向量都能唯一地表示成 ， 则称+为这两个线性子空间的 . 二. 单项选择题 1. 设，都是线性空间的子空间，则下列集合不是的子空间的有( ). A. ； B. ； C. ； D. 2. 全体正实数的集合对于下面定义的加法与标量乘法: ， 构成上的线性空间,则的零向量为（ ）. A. ； B. ； C. ； D. 3. 以下哪个结论不是两个线性空间，的和为直和的等 价命题（ ）. A. ，； B. ； C. ； D. 若是的一组基，是的一组基，则 线性无关. 4. 把复数域看成实数域上的线性空间，它的维数是（ ）. A. 0； B. 1； C. 2； D. 无法确定. 5. 若向量组线性无关，向量组线性无关，则向量组( ). A. 一定线性无关； B. 不一定线性无关； C. 一定线性相关； D. 以上说法都不对. 三. 计算题 1. 在中，求基到的过渡矩阵，同时，求非零向量，使它在与下有相同的坐标. 2. 求由向量生成的子空间和由生成的子空间的交与和的基和维数. ， 3. 设，，，，求子空间在中的一个补子空间. 4. 讨论中的矩阵组，，，的线性相关性. 5. 在中，求由齐次线性方程组 确定的解空间的基及维数. 证明题 1. 验证线性空间关于加法运算的消去律，即若++，则. 2. 若线性无关，则向量组 也线性无关. 3. 证明：（其中）线性相关的充要条件是至少有一个 （）可被线性表示. 4. 设，，都是线性空间的子空间，且 ，，. 证明：. 5. 设，. 证明：. 高等代数专题研究作业题（三） 一. 填空题 1. 设是数域上的一维线性空间，则上的所有线性变换为 . 2. 是否存在上的线性变换，它将一组线性相关的向量组变成一组线性无关的向量组. 3. 复数域作为上的线性空间，定义变换，，则是否是线性变换. 4. 设，分别是线性空间上的线性变换在不同基下的矩阵，则矩阵与 . 5. 与的特征多项式必 . 二. 单项选择题 1. 如果线性空间的线性变换在的基下的作用为：