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2015 年山东省第六届大学生数学竞赛(非数学类)参考答案
1
(4)知D 是由曲线y a a2 x 2 (a 0)和直线y x 围成的区域，
2 2
x y
则二重积分 2 2 2 d ______.
D 4a x y
2 2 1
答案：a ( )
16 2
d 2 2 d 2 2
二、(12分)设f '(0) 1,f ''(0) 0,求证：在x 0处，有 f (x ) f (x).
dx 2 dx 2
d 2 2 d 2 2
证： f (x ) 2xf '(x )， f (x )|x 0 2xf '(x )|x 0 0LLLL3分
dx dx
d 2 d 2
d2 2 dx f (x ) dx f (x )|x 0
所以， f (x )|x 0 lim
2
dx x 0 x
2
2xf '(x 2)0
lim 2f '(0) 2LLLLLLLL6分
x 0 x
d 2
又 f (x ) 2f (x )f '(x )，
dx
f (x )f (0) f (x )
由f '(0) lim lim 1知:f (0) limf (x ) 0,
x 0 x x 0 x x 0
d 2
从而 f (x )|x 0 2f (0) 0， LLLLLLLL9分
dx
d 2 d 2
d2 2 dx f (x ) dx f (x )|x 0
所以， f (x )|x 0 lim
2
dx x 0 x
2f (x)f '(x)0 f (x) 2
lim 2lim limf '(x) 2[f '(0)] 2
x 0 x x 0 x
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