3.4 函数的应用（一）（解析版）-高中数学人教A版（2019）必修第一册.docx

3.4《函数的应用(一)》 分层练习 考查题型一 利用一次函数、二次函数模型解决实际问题 1．你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（????） A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒 【答案】A 【详解】由题意，， 则当时，即烟花达到最高点，爆裂的时刻是第秒. 故选：A. 2．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是（????） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 3．将进货单价40元的商品按50元一个售出，能卖出500个；若此商品每涨价1元，其销售量减少10个.为了赚到最大利润，售价应定为 元. 【答案】 【详解】设售价为元，总利润为元， 则， 当时，最大，最大的利润元； 即定价为70元时可获得最大利润，最大的利润是9000元． 故答案为: . 4．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（单位：件）（∈N*）与货价p（单位：元/件）之间的关系为p＝160－2，生产x件所需成本C＝100＋30（单位：元），当工厂日获利不少于1 000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是 【答案】10 【详解】由题意，设该厂月获利为元，则： ， 当工厂日获利不少于1 000元时，即， 即， 解得：. 故该厂日产量最少生产风衣的件数是10. 故答案为：10 5.某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表. 投资A种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资B种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.30 0.59 0.88 1.20 1.51 1.79 该经营者准备在第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知A，B两种商品各投入多少万元才合算，请你制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字). 【答案】12万元中的3万元投资A种商品，9万元投资B种商品；约为4.6万元. 【详解】以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示． ???? 观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图①所示． 取为最高点，则， 再把点代入，得， 解得，所以. B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图②所示． 设，取点和代入， 得，解得. 所以. 设第七个月投入A，B两种商品的资金分别为万元，万元，总利润为万元， 那么 ， 当x＝3时，W取最大值，约为4.6万元，此时B商品的投资为9万元． 故该经营者下个月把12万元中的3万元投资A种商品，9万元投资B种商品，可获得最大利润，约为4.6万元. 6.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产台的收入函数为（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差． (1)求利润函数及利润函数的最大值； (2)为了促销，如果每月还需投入500元的宣传费用，设每台产品的利润为，求的最大值及此时的值． 【答案】(1)利润函数，最大值为（元） (2)当台时，每台产品的利润取到最大值1900元 【详解】（1）由题意知， ， 易得的对称轴为， 所以当或时，取得最大值为（元）． 所以利润函数，最大值为（元）； （2）依题意，得 （元）. 当且仅当时等号成立，即时，等号成立． 所以当台时，每台产品的利润取得最大值元． 考查题型二 分段函数模型的应用 1.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表所示，若某户居民某月交纳水费60元，则该月用水量 m3． 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/m3 超过18m3的部分 9元/m3 【答案】16 【详解】设用数量为，交纳水费为，由题可知，当时，解得， 故答案为：16 2.巴拿马运河起着连接美洲南北陆路通道的作用，是世界上最繁忙的运河之一，假设