钢结构稳定理论与设计课件.pptxVIP

为什么要近似求解？ v非等截面构件 v压力沿轴线变化的构件 v具有变系数的平衡微分方程 v压杆的弹塑性屈曲问题 近似求解方法： 能量法、瑞利－里兹法、迦辽金法、有限差 分法、有限积分法、有限元法等。 钢结构稳定理论 第三章 稳定问题的近似解法 哈尔滨工业大学 哈尔滨工业大学 §3-1 能量法 1)几个基本概念 v保守系统：体系由平衡位置1变化到平衡位置2时，力 系(包括内力和外力)做的功仅与始末位置有关，而 与中间过程无关的系统。 v能量守恒：如果贮存在结构体系中的应变能等于外力 所做的功，则该保守系统处于平衡状态，此谓之能量 守恒。 v能量准则：当一保守系统处于平衡状态时，其总势能 的一阶变分为0。 钢结构稳定理论 二阶变分： 为稳定的平衡状态，此时总势能最小 为不稳定的平衡状态 为随遇平衡状态 钢结构稳定理论 外力势能 内力势能、应变能 势能驻值原理 外力势能增量 内力势能增量 哈尔滨工业大学 一阶变分： 总能量： 哈尔滨工业大 2)弹性直杆的总势能表达式 v 以直杆状态为参考状态(总势能为0状态)，求微弯 后总势能表达式 v应变能 结构稳定理论 钢 学 哈尔滨工业大学 v外力势能 E 、P和I可能不是常数， P(x) 、I(x) 不可拿到积分号之外。 钢结构稳定理论 v总势能 哈尔滨工业大学 3)势能驻值原理 v当作用着外力的结构体系，其位移有微小变化而总的 能量不变，即总势能有驻值时，则该结构体系处于平 衡状态，此即为势能驻值原理。 外力势能 外力作功 钢结构稳定理论 v表达为： 其中： 内力势能 钢结构稳定理论 上端B点具有弹簧铰rB 、抗侧 移弹簧kB； 下端A点具有弹簧铰rA。 当由(a)直杆状态过渡到(b)微 弯状态时，体系的应变能为： v例：现考查如下结构 哈尔滨工业大学 外力势能为： 利用分部积分和边界条件 可知上式第一项和第二项分别为： 钢结构稳定理论 哈尔滨工业大学 则总势能为： 利用势能驻值原理(即总势能一阶变分为0) 由于6y(l) 、6y’(0) 、6y’(l) 、6y均为边界上不为0的任意值， 所以上式等于0的条件为其系数衡等于0： 钢结构稳定理论 哈尔滨工业大学 将上二式代入 得 ü前三项为边界上的弯矩和横向剪力，即自然边界条件； ü而第四项为平衡方程； ü可见势能驻值与平衡方程等价； 钢结构稳定理论 哈尔滨工业大学 哈尔滨工业大学 结论： ü很多复杂结构很难建立平衡方程，这时可先写出总势 能表达式，令其一阶变分为0，即可得到平衡方程； ü可以假设构件的挠曲线函数，(必须满足几何边界条 件)，将其代入总势能表达式，通过一阶变分为0，求 解屈曲荷载，这就是著名的瑞利－里兹法 ( Rayleigh,L., Ritz, W. )； ü如果假设的挠曲线函数既符合构件的几何边界条件， 又符合自然边界条件，也可直接利用(4)式求解屈曲荷 载，这就是著名的迦辽金法 (Galerkin, B.G. )。 钢结构稳定理论 ü ai －待定系数； üfi(x)－满足边界条件的函数(至少满足几何边界条件)； ü 可见挠曲线y为一个泛函 (函数的函数)。 v将y的表达式代入总势能表达式中——总势能表达为 系数ai 的函数。 v使用势能驻值原理 ，可写成： 哈尔滨工业大学 §3-2 瑞利－里兹法 v假定满足几何边界条件的挠曲线为： 钢结构稳定理论 哈尔滨工业大学 v6a1 、6a2 、6a3 …不能同时为0，则可得到： 钢结构稳定理论 哈尔滨工业大学 v给出几种满足几何边界条件的常用挠曲函数 钢结构稳定理论 一般取前一、二项就有良好精度 钢结构稳定理论 哈尔滨工业大学 哈尔滨工业大学 v例题1，如图所示变截面悬臂柱，求其轴心受压临界 承载力 (在工业厂房中常用此结构形式) 钢结构稳定理论 哈尔滨工业大学 根据前面表格，设挠曲线方程为： 满足y(0)＝0，y’(0)=0 钢结构稳定理论 代入y，并分步积分得： 应变能： 钢结构稳定理论 代入y，并分步积分得： 应变势能或外力功： 哈尔滨工业大学 则总势能为： 讨论如下： i. 如果利用平衡微分方程求解，精确解为 误差仅为1.25％。 哈尔滨工业大学 利用势能驻值原理： 钢结构稳定理论 iii. 能量法结果偏高。 iv. 因为挠曲函数与真是变形不完全相符，相当 于对真实杆件人为添加了若干横向水平约束，提高 了压杆的抗失稳能力。 钢结构稳定理论 哈尔滨工业大学 ii. 若变形函数只取一项y=af(x)时，即只有一个参 变量a时，可以证明： 哈尔滨工业大学 v例题2，连续变截面杆件，假设忽略腹板的