江苏省常州高级中学2024届高三上学期期初检测数学试题 含解析.docx

江苏省常州高级中学2024届高三第一学期期初检测 数学试卷 2023．09 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足（其中为虚数单位），则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模除法的运算性质进行求解即可. 【详解】， 故选：C 2. 已知全集，集合，或，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集、补集的定义进行计算得出结果. 【详解】由或得， 又， 所以. 故选：B. 3. 在空间直角坐标系中，已知异面直线，的方向向量分别为，，则，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的夹角公式结合已知条件直接求解即可 【详解】设异面直线，所成角为， 因为异面直线，的方向向量分别为，， 所以， 故选：A 4. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复合函数单调性以及二次函数性质可得对称轴在区间的左侧，且在区间内的最小值大于等于零，即可解得. 【详解】根据复合函数单调性可知，函数在区间上单调递减, 因此可知对称轴，且，解得. 故选：D 5. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中点线面的位置关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，若，，则或者或者相交，故A错误， 对于B，若，，则或者或者相交，故B错误， 对于C，若，，则，又，所以，故C正确， 对于D，若，，，则或者或者相交，故D错误， 故选：C 6. 设，已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，且展开式中所有项的系数和为256，则中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到和，再根据项的取法为1个和1个再计算即可. 【详解】因为的展开式中只有第5项的二项式系数最大， 所以展开式一共有项，即， 令，得展开式中所有项的系数和为，所以， 中项的取法为1个和1个， 所以系数为. 故选：C 7. 已知在直角三角形中，，以斜边的中点为圆心，为直径，在点的另一侧作半圆弧，为半圆弧上的动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出半圆弧所在的圆的方程，利用数量积的坐标形式可求数量积的取值范围. 【详解】 因为直角三角形为等腰直角三角形，故可建立如图所示的平面直角坐标系， 其中，，，而以为直径的圆的方程为：， 设，则,， 故，因为M在半圆上运动变化， 故，故的取值范围为：. 故选：A. 8. 将一个半径为的球削成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的内切球的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，则高为，表示出圆锥的体积，换元后利用导数可求出体积的最大值，从而可求出圆锥的底面半径和高，再求出母线长，作出圆锥的截面，然后利用三角形相似可求出圆锥内切球的半径. 【详解】设圆锥的底面半径为，则高为， 所以圆锥的体积为， 令，得， 所以， 则， 所以当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以当时，取得最大值，即时，圆锥的体积最大， 此时圆锥的高为，母线长为， 设圆锥的内切球半径为，圆锥的轴截面图如图所示，则 ， 因为， 所以，所以, 即，解得， 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查圆锥的内切球问题，考查导数的应用，解题的关键是表示出圆锥的体积，化简后利用导数求出其最大值，从而可确定圆锥的大小，考查空间想象能力和计算能力，属于难题. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9. 已知一组样本数据、、、均为正数，且，若由生成一组新的数据、、、，则这组新数据与原数据的（ ）可能相等 A. 极差 B. 平均数 C. 中位数 D. 标准差 【答案】BC 【解析】 【分析】利用极差的定义可判断A选项；利用平均数公式可判断B选项；利用中位数的定义可判断C选项；利用方差公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，样本数据、、、的极差为， 样本数据、、、的极差为， 因为，则，故A错误； 对于B选项，设样本数据、、、的平均数为，即， 所以，样本数据、、、的平均数为 ， 由可知，当时，两组样本数据的平均数相等，故B正确； 当时，样本数据、、、的中位数为， 样本数据、、、中位数为， 同理可