华南农业大学2014高等代数期末试卷.docx

PAGE PAGE 1 PAGE PAGE 4 华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2014-2015 学 年 第 1 学期 考试科目： 高等代数Ⅰ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 题号 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 评阅人 得分 得分 一、选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 1. 设 A, B 都是n 级方阵，下列四个式子中：AB ? BA ，( A ? B)2 ? A2 ? 2 AB ? B2 1 ?2 AB??1 ? A?1B?1 ， (2 A ? 3B)T ? 2 AT ? 3BT ，一定正确的有（ ）个. 2 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 2. 设向量组? , ? , ? 1 2 3 线性无关，向量组? , ? , ? 1 2 4 线性相关，则下列结果错误的 是（ ）. （A）? ,? 1 2 线性无关 （B）? 可以表示为? ,? 4 1 2 的线性组合 （C）? ,? 1 2 ,? ,? 3 4 线性无关 （D）? ,? 1 2 ,? ,? 3 4 线性相关 3. 设? ，? 1 2 是非齐次线性方程组 Ax ? b 的解， ? 是对应齐次线性方程组 Ax ? 0 的解，则 Ax ? b 必有一个解（ ）. （A）? +? （B） ? ? ? （C） ?+? +? （D）? + 1 ? + 2 ? 1 2 1 2 1 2 3 1 3 2 设 A 和 B 都是 n 级实对称矩阵, 通过非退化线性替换能将实二次型 f (x , x , , x ) ? X T AX 化为实二次型 g(y , y , , y ) ? YTBY 的充分必要条件 1 2 n 1 2 n 装 装 订 线 是（ ）. （A） A 与 B 具有相同的秩 （B） A 与 B 具有相同的符号差 A 与 B 具有相同的正惯性指数 A 与 B 具有相同的负惯性指数, 并且 A 与 B 具有相同的符号差 下列关于多项式的说法中不正确的是（ ）. （A）任一多项式 f (x)都与零多项式互素 （B）若 u(x)f (x)＋v(x)g(x)＝1，则(u(x)，v(x))＝1 （C）若( f (x)，h(x))=1，( g (x)，h(x))=1，则( f (x)g(x)，h(x))＝1 （D）任意两个零次多项式都互素 得分 得分 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 五阶行列式中， a a 55 12 a a a 34 23 41 这一项应该带 号. 设? 1 ? (x, ?1,1)，? 2 ? (0,3,3) ，? 3 ? (1,2,3) ，如果向量组? ,? ,? 1 2 3 的秩为3， 则 x 满足 . 若 A 为三级方阵， A *为 A 的伴随矩阵，且| A |=1,则(3A)?1 ? 2 A* ? . 4. 若矩阵 X 满足?1 2 ? X ? ? 1 ?1? ，则X= . ? 3 5 ? ? 2 0 ? ? ? ? ? 若二次型 f ?x , x , x ?? x2 ? 2x2 ? tx2 ? 2x x ? 4x x ? 6x x  是正定的，则t 的取 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 值范围为 . 得分 得分 三、判别题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分） （请在你认为正确的小题对应的括号内打“√”，否则打“χ”） 1.（ ）若两个向量组包含的向量个数和秩分别相等，则这两个向量组等价. 2.（ ）若n级方阵 A 的伴随矩阵 A*=0 ，则 R( A) ? n ?1 . 3.（ ）设A可逆， ABC=AC ，则 B ? E . 4.（ ）已知二次型 f (x , x 1 2 , x ) 通过非退化线性替换化为标准形 3 y2 ? 3 y2 ,则二次型 f (x , x , x ) 是负定的. 1 2 1 2 3 5.（ ）零次多项式能整除任意的多项式. 1.5CM 1.5CM 装 订 线 得分 得分 四、解答题（本大题共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分） 1. 设 g (x) ? x2 ? x ? 2, f (x) ? x4 ? 3x3 ? 4x2 ? ax ? b ，若 g(x) f (x) ，求a 、b 的值. 21?5 2 1 ?5 1 1 ?3 0 ?6 0 2 ?1 2 1 4 ?7 6 求下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表 示：? ? ?4, 3, 2,1?, ? ? ?5, 4, 3, 2?? ? ?6, 5, 4, 3?? ? ?7, 6, 5, 4?. 1 2 3 4 ?