专题13.4 课题学习 最短路径问题-八年级数学上册金典同步教学讲义（讲+练）（人教版） （含答案析）.docx

第十三章 轴对称 13.4 13.4 课题学习 最短距离问题 轴对称-最短路线问题 1、最短路线问题 在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． （2021春?成都期末）如图，点，在直线的同侧，在直线上找一点，使最小，则下列图形正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】作点关于的对称点，连接与的交点为，由对称性可知，所以当、、三点共线时最小． 【解答】解：点，在直线的同侧， 作点关于的对称点，连接与的交点为， 由对称性可知， ， 当、、三点共线时最小， 故选：． 【点评】本题考查轴对称求最短距离，掌握两点在直线同侧时，在直线上找一点到两点距离最短的方法是解题的关键． （2020秋?赫山区期末）如图，等腰的底边长为6，腰长为8，垂直平分，点为直线上一动点，则的最小值　　 A．6 B．8 C．10 D．14 【分析】连接，由垂直平分，可得当时，值最小． 【解答】解：连接， 垂直平分， ， ， 当时，值最小， 等腰腰长为8， ， 的最小值为8， 故选：． 【点评】本题考查轴对称求最短距离，利用线段垂直平分线的性质，得到，进而确定所求最小值为是解题的关键． （2021春?丰台区校级期中）如图，在中，，的垂直平分线交于，交于，是直线上一动点，点为中点，若，的周长是36．则的最小值为　　 A． B．10 C．12 D．13 【分析】连接，，先求出，的长，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据勾股定理求出的长，由是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点是点，故的长为的最小值，由此得出结论． 【解答】解：连接，， ，的周长为36， ， 是中点， ， 是等腰三角形，点是中点， ， ， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ， ， 的长为的最小值， 的最小值为12． 故选：． 【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键． （2021春?丰台区校级期中）如图，在中，，的垂直平分线交于，交于，是直线上一动点，点为中点，若，的周长是36．则的最小值为　　 A． B．10 C．12 D．13 【分析】连接，，先求出，的长，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据勾股定理求出的长，由是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点是点，故的长为的最小值，由此得出结论． 【解答】解：连接，， ，的周长为36， ， 是中点， ， 是等腰三角形，点是中点， ， ， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ， ， 的长为的最小值， 的最小值为12． 故选：． 【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键． （2020秋?长葛市期末）如图，在中，，，，，垂直平分，点为直线上的任意一点，则周长的最小值是　　 A．12 B．6 C．7 D．8 【分析】根据题意知点关于直线的对称点为点，故当点与点重合时，的最小值，即可得到周长的最小值． 【解答】解：垂直平分， 、关于对称， 设交于， 当和重合时，的值最小，最小值等于的长， ，， 周长的最小值是． 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理，轴对称最短路线问题的应用，解此题的关键是找出的位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． （2021春?开江县期末）如图，在四边形中，，，在边，上分别找一点，使的周长最小，此时　　 A． B． C． D． 【分析】如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，交于，交于，则点，即为所求，结合四边形的内角和即可得出答案． 【解答】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，交于，交于，则点，即为所求． 四边形中，，， ， 由轴对称知，，， 在中， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及四边形的内角和定理等知识，根据已知得出，的位置是解题关键． （2021?宝应县二模）在平面直角坐标系中，长为3的线段（点在点右侧）在轴上移动，，，连接，，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【分析】平移使点落在点处，连接，则点的对应点为，即，进而得出，再作点关于轴的对称点，则，进而得出的最小值为，即可求解答案． 【解答】解：如图，平移使点落在点处，连接， 则点的对应点为，即， ，， 点， 作点关于轴的对称点，此时点，，在同一条线上时，最小， ， ， 连接，则的最小值为，