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第十三章 轴对称
13.3
13.3
等腰三角形
等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
(2)等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等.【简称:等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】
(3)在①等腰;②底边上的高;③底边上的中线;④顶角平分线.以上四个元素中,从中任意取出两个元素当成条件,就可以得到另外两个元素为结论.
等腰三角形的判定
判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.【简称:等角对等边】
说明:①等腰三角形是一个轴对称图形,它的定义既作为性质,又可作为判定办法.
②等腰三角形的判定和性质互逆;
③在判定定理的证明中,可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线,但不能作未来底边的中线;
④判定定理在同一个三角形中才能适用.
等腰三角形的性质与判定
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角,判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段.
2、在等腰三角形有关问题中,会遇到一些添加辅助线的问题,其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线,虽然“三线合一”,但添加辅助线时,有时作哪条线都可以,有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同,需要具体问题具体分析.
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决,但要注意纠正不顾条件,一概依赖全等三角形的思维定势,凡可以直接利用等腰三角形的问题,应当优先选择简便方法来解决.
(2021春?红塔区期末)等腰三角形的两边长分别为6和14,则这个等腰三角形的底边长是
A.6 B.6或14 C.14 D.34
(2021春?威宁县期末)等腰三角形的一个底角是,则顶角的度数是
A. B. C.或 D.或
(2021春?三水区期末)如图,为了让电线杆垂直于地面,工程人员的操作方法是:从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳与,当固定点,到杆脚的距离相等,且,,在同一直线上时,电线杆就垂直于,工程人员这种操作方法的依据是
A.等边对等角 B.等角对等边
C.垂线段最短 D.等腰三角形“三线合一”
(2021春?长丰县期末)如图,在中,,,则
A. B. C. D.
(2021春?成都期末)如图,在中,,,以点为圆心,长为半径画弧,交于点,连接,则的度数是
A. B. C. D.
(2020秋?费县期末)如图,中,,,、分别平分、,过点作直线平行于,交、于、,则的周长为
A.9 B.11 C.15 D.18
等边三角形的性质
(1)等边三角形的定义:三条边都相等的三角形叫做等边三角形,等边三角形是特殊的等腰三角形.
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法;
②可以得到它与等腰三角形的关系:等边三角形是等腰三角形的特殊情况.在等边三角形中,腰和底、顶角和底角是相对而言的.
(2)等边三角形的性质:等边三角形的三个内角都相等,且都等于60°.
等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴;它的任意一角的平分线都垂直平分对边,三边的垂直平分线是对称轴.
等边三角形的判定
(1)由定义判定:三条边都相等的三角形是等边三角形.
(2)判定定理1:三个角都相等的三角形是等边三角形.
(3)判定定理2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
说明:在证明一个三角形是等边三角形时,若已知或能求得三边相等则用定义来判定;若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明;若已知等腰三角形且有一个角为60°,则用判定定理2来证明.
等边三角形的性质与判定
(1)等边三角形是一个非常特殊的几何图形,它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础,它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件.同是等边三角形又是特殊的等腰三角形,同样具备三线合一的性质,解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用.
(2)等边三角形的特性如:三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等.
(3)等边三角形判定最复杂,在应用时要抓住已知条件的特点,选取恰当的判定方法,一般地,若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定;若从等腰三角形出发,则想法获取一个60°的角判定.
(2021春?铁西区期中)在中,点,是的三等分点,且是等边三角形,则的度数为
A. B. C. D.
(2021春?碑林区校级期中)如图,是等边的一条中线,若在边上取一点,使得,则的度数为
A. B. C. D.
(2021春?沂源县期末)如图,为等边三角形,为中线,延长至
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