pb-2ris能量法求解任意四边形薄板的几何非线性弯曲问题.docxVIP

pb-2ris能量法求解任意四边形薄板的几何非线性弯曲问题 近年来，新加坡科学家k.m.liee提出了一种pb-2能量法，以分析板壳结构的自由振动。该方法基于ris能量法，选择的位移函数是一个完整的二进制多项式排列和一个描述边界形状的基本函数的积分法。由于位移函数中包含描述边界形状的基本函数，因此该方法可以用来分析带有复杂边界的板。k.m.lie分析了四边形厚板、椭圆板和超椭圆板的自由振动，并取得了巨大成功。但据作者所知,至今尚无用该方法求解大挠度弯曲问题的文献发表,鉴于此,本文在这方面作了尝试。 关于任意四边形薄板的弯曲问题,已有不少文献做了有益的贡献,文和分别用样条有限元法和样条有限点法做过研究,文用康托洛维奇加权残值法做过类似的探讨,这些研究均以Kirchhoff板小挠度理论作为理论依据,并未涉及大位移问题,而当板的挠度较大时,须应用较精确的大挠度理论方能给出较为精确合理的解答。 本文利用pb-2 Ritz法不用将结构离散求解的优点,将任意四边形板域通过坐标变换转换至一个正方形域,设位移函数为一个完备的二元多项式与一个描述边界形状的基本函数的乘积,利用能量最小原理导得一组非线性代数方程,其系数的积分运算可直接利用高斯公式,因而计算非常迅速,并且输入的数据很少。非线性代数方程组采用拟牛顿法求解,收敛较快。 1 板的几何非线性弯曲 考虑图1(a)所示的四边形薄板,设板厚为h,弹性模量为E,泊松比为μ,剪切模量为C,在正交坐标系下,板的形状由四个顶点的坐标来确定,板的边界为任意约束,现在讨论其几何非线性弯曲问题。 1.1 能量自治函 根据薄板的大挠度理论,板的能量泛函为 其中,应变势能U为 而外力功W为 式中,D为板的弯曲刚度,u、v、w分别为板的面内位移和横向挠度。 1.2 单元类型中的函数 为便于数值积分和处理边界条件,现对xy平面坐标进行如下的变换 其中,(xi,yi)为四边形第i个顶点的坐标,Ni为坐标变换的形函数 (ξi,ηi)为2×2单位方板第i顶点的坐标。经(4)式的变换,图1(a)所示的任意四边形区域就映射为图1(b)所示的母单元。 根据复合函数的链式求导规则,任意变量f对两种坐标的导数具有如下关系 其中 式中J0为Jacobi坐标转换矩阵。为简便起见,记 其中各元素aij、bij、cij均为ξ、η的函数。利用(6)式便可将(2)、(3)式的积分域变换到ξη域内。 1.3 项数的基本概念 设板的面内位移和横向挠度为如下形式 其中,ci、di、ei为待定系数,其下标i由q和r确定 而m为多项式的总项数,它由p来决定(12)为pb-2 Ritz函数,其构成为(α=u,v,w)(13)其中为与u、v、w边界条件相应的基本函数,其形式为描述各边界形状的函数的乘积,以满足位移边界条件,具体可写为(14)其中k1、k2k3、k4的取值与相应边的约束情况有关,如ξ=1边为简支、固定或自由,则k1分别取值为1、2或0。 1.4 通过双高斯公式进行非线性代数化 将(10a-c)式代入(2)、(3)式,并将积分域变换到ξη平面上,再将(2)、(3)式代入(1)式,便可得到以ci、di、ei等表示的能量泛函,然后由能量最小原理,便可建立一组关于ci、di、ei的非线性代数方程 其中 矩阵[K]中各子块的计算式如下 而方程(15)的右端向量{P}中的子向量{P3}为 在计算上面诸式的积分运算时,由于积分区间均为(-1,1),故可利用双高斯公式。由于矩阵[K]中的各元素含有ei及eiej,因而方程(15)为一组非线性方程,故需迭代求解,本文采用拟牛顿法,详见文献。 2 单元类型的确定 为说明本方法的有效性,本文对承受均布荷载作用的四边简支方板和四边固定菱形板进行了数值计算。表1和表2分别为方板和菱形板的中心挠度,为便于比较,计算结果均以无量纲形式给出。=w/h,=qa4/(Eh4),其中w为板中心的挠度,a为方板或菱形板的边长,h为板的厚度,E为弹性模量,泊桑比μ取0.316。表1中的QS、QL和QH分别表示三种单元,QS单元为八结点曲边四边形Serendipity单元,QL单元为在QS的基础上加一个泡函数的Lagrangian单元,QH单元为中心位移w=0的九节点曲边四边形Heterosis单元,表2中的β为菱形板的锐角,文解选自其中的11个LGC-Q12单元的结果,而文解为QH结果。计算时,取多项式的最高次数为p=10,多项式的项数为m=66,总自由度为3×66=198。 由表1和表2可以看出,本文结果与文和文的有限元解相差都不大,尤其与文的结果非常接近,这说明本文方法分析薄板大挠度弯曲问题是很有效的。 3 使用能量函数进行 本文探讨了pb-2 Ritz能量法在任意四边形薄板大挠度弯曲问题中的应用,通过坐标变换将任意四边形域内板的