专题11 特殊平行四边形的性质与判定综合（含答案析）（八年级数学下册高分突破必练专题（人教版））.docx

专题11 特殊平行四边形的性质与判定综合 【直击考点】 【直击考点】 【典例分析】 【典例分析】 类型一 从平行四边形到特殊平行四边形 【例1】（2020春?濮阳期末）如图，在平行四边形ABCD中，点O是BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC． （1）求证：四边形BECD是平行四边形； （2）若∠A＝50°，①则当∠ADE＝　　°时，四边形BECD是矩形； ②则当∠ADE＝　 　°时，四边形BECD是菱形． 【答案】（1）略 （2）80°，90° 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝CD， ∴∠OEB＝∠ODC， 又∵O为BC的中点， ∴BO＝CO， 在△BOE和△COD中，， ∴△BOE≌△COD（AAS）； ∴OE＝OD， ∴四边形BECD是平行四边形； （2）解：①当∠ADE＝80°时，四边形BECD是矩形； 理由：∵∠A＝50°，∠ADE＝80°， ∴∠AED＝50°， ∴∠A＝∠AED， ∴AD＝DE， ∵AB＝CD＝BE， ∴BD⊥AE， ∴∠DBE＝90°， ∵四边形BECD是平行四边形， ∴四边形BECD是矩形； ②当∠ADE＝90°时，四边形BECD是菱形， ∵∠A＝50°，∠ADE＝90°， ∴∠AED＝40°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠CBE＝∠A＝50°， ∴∠BOE＝90°， ∴BC⊥DE， ∴四边形BECD是菱形， 故答案为：80，90． 【变式1】（2020?金昌）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长． 【答案】（1）略 （2） 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点， ∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD， ∴∠OBE＝∠ODF， 在△BOE和△DOF中，， ∴△BOE≌△DOF（ASA）， ∴EO＝FO， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF， 设BE＝x，则 DE＝x，AE＝6﹣x， 在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2， ∴x2＝42+（6﹣x）2， 解得：x＝， ∵BD＝＝2， ∴OB＝BD＝， ∵BD⊥EF， ∴EO＝＝， ∴EF＝2EO＝． 【变式2】（2021春?黄山期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形ADFE是矩形； （2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度． 【答案】（1） 略 （2） 【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中， ∴AB∥DC且AB＝DC， ∴∠ABE＝∠DCF， 在△ABE和△DCF中，， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°， ∴AE∥DF， ∴四边形ADFE是矩形； （2）解：由（1）知：四边形ADFE是矩形， ∴EF＝AD＝6， ∵EC＝4， ∴BE＝CF＝2， ∴BF＝8， Rt△ABE中，∠ABE＝60°， ∴AB＝2BE＝4， ∴DF＝AE＝， ∴BD＝＝2， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∴OF＝BD＝． 类型二 特殊平行四边形间的交叉运用 【例2】（2021?丰台区一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度． 【答案】（1）略 （2）． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC且AD＝BC， ∵BE＝CF， ∴BC＝EF， ∴AD＝EF， ∵AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴四边形AEFD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝10， ∴AD＝AB＝BC＝10， ∵EC＝4， ∴BE＝10﹣4＝6， 在Rt△ABE中，AE＝， 在Rt△AEC中，AC＝， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC， ∴OE＝AC＝． 【变式1】（2020?北京）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长． 【答案】（1）略 （2）OE=5,BG=2 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD， ∵E是AD的中点， ∴OE是△