初中数学中的折叠问题.docx

v1.0可编写可改正 初中数学中的折叠问题 折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频次较高的一类题型，学生常常因为对折叠的实 质理解不够透辟，致使对这种中档问题失分严重。本文试图经过对在初中数学中常常波及到 的几种折叠的典型问题的分析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这种问题的惯例 方法。其实对于折叠问题，我们要理解： 1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换． 2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直均分线，折叠前后 图形的形状和大小不变，地点变化，对应边和对应角相等． 3、对于折叠较为复杂的问题能够实质操作图形的折叠，在绘图时，画出折叠前后的图形， 这样便于找到图形之间的数目关系和地点关系． 4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形 5、利用折叠所获得的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，而后依据轴对称的性质 用含x的代数式表示其余线段的长度，选择适合的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解． 一、矩形中的折叠 1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，此中BC，BD为折痕，折叠后BG和BH在同一条直 线上，∠CBD=度． BC、BD是折痕，因此有∠ABC=∠GBC，∠EBD=∠HBD 则∠CBD=90° 折叠前后的对应角相等 2．以下图，一张矩形纸片沿BC折叠，极点A落在点A′处，再过点A′折叠使折痕DE∥ BC，若AB=4，AC=3，则△ADE的面积是． 11 v1.0可编写可改正 沿BC折叠，极点落在点A’处，依据对称的性质获得 BC垂直均分 1 AA’，即AF=AA’， 2 又DE∥BC，获得△ABC∽△ADE，再依据相像三角形的面积比等于相像比的平方即可求出三角形ADE的面积=24 对称轴垂直均分对应点的连线 3．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，得折痕DG， 求AG的长．  DC A' 由勾股定理可得BD=5，由对称的性质得△ADG≌△ A’DG，由A’D=AD=3，AG’=AG，则A’B=5–3 A G B =2，在Rt△A’BG中依据勾股定理，列方程能够求出AG 的值 依据对称的性质获得相等的对应边和对应角，再在直角三角形中依据勾股定理列方程求解即 可 4．把矩形纸片ABCD沿BE折叠，使得BA边与BC重合，而后再沿着BF折叠，使得折痕BE 也与BC边重合，睁开后以下图，则∠DFB等于（） 依据对称的性质获得∠ABE=∠CBE，∠EBF=∠CBF，据此即 可求出∠FBC的度数，又知道∠C=90°，依据三角形外角 的定义即可求出∠DFB=° 注意折叠前后角的对应关系 22 v1.0可编写可改正 5．如图，沿矩形ABCD的对角线BD折叠，点C落在点E的地点，已知BC=8cm，AB=6cm，求 折叠后重合部分的面积． E ∵点C与点E对于直线BD对称，∴∠1= ∠2 ∵AD∥BC，∴∠1= ∠3 A F ∴∠2=∠3 ∴FB=FD 2 B 1 设FD=x，则FB=x，FA=8–x 在Rt△BAF中，BA2+AF2=BF2 ∴62+(8-x) 2=x 2 解得x= 25 4 1 1 25 75 2 因此，暗影部分的面积 S△FBD=2FD×AB= 2×4×6= 4cm 重合部分是以折痕为底边的等腰三角形 6．将一张矩形纸条ABCD按以下图折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1= 的形状三角形． ∵四边形CDFE与四边形C’D’FE对于直线 D‘ EF对称 C‘ ∴∠2=∠3=64 A 1G F ° 5 ∴∠4=180°-2 ×64°=52° 4 3 2 ∵AD∥BC B E  D 3 C 度；△EFG D C ∴∠1=∠4=52° 2=∠5 又∵∠2=∠3 ∴∠3=∠5 ∴GE=GF 33 v1.0可编写可改正 ∴△EFG是等腰三角形 对折前后图形的地点变化，但形状、大小不变，注意一般状况下要画出对折前后的图形，便 于找寻对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰△GEF 7．如图，将矩形纸片ABCD按以下的次序进行折叠：对折，展平，得折痕EF（如图①）；延 CG折叠，使点B落在EF上的点B′处，（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠， 使点C落在DH上的点C′处，（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′，GH （如图⑥）． 1）求图②中∠BCB′的大小； 2）图⑥中的△GCC′是正三角形吗请说明原因． 1 （1）由对称的性质可知：B’C=BC，而后在Rt△B′FC中，求得cos∠B’CF=2，利用特 殊角的三角函数值的知识即可求得∠BCB’=60°； （2）第一依据题意得：GC均分∠BCB’，即可求得∠GCC’=60°，而后由对称的性质知： GH是线段CC’的对称轴，可