直线与椭圆的位置关系-学案.docVIP

第二课时　直线与椭圆的位置关系 我们已经学习了直线与圆的位置关系的判断方法． [问题]　能否利用直线与圆的位置关系的判断方法(思想)，判断直线与椭圆的位置关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　点与椭圆的位置关系 点P(x0，y0)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系： 点P在椭圆上?eq \f(xeq \o\al(2,0),a2)＋eq \f(yeq \o\al(2,0),b2)＝1；点P在椭圆内部?eq \f(xeq \o\al(2,0),a2)＋eq \f(yeq \o\al(2,0),b2)<1；点P在椭圆外部?eq \f(xeq \o\al(2,0),a2)＋eq \f(yeq \o\al(2,0),b2)>1. 知识点二　直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法： 联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程． 当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离． 知识点三　直线与椭圆相交的弦长公式 1．定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． 2．求弦长的方法 (1)交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求； (2)根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝ eq \r(1＋\f(1,k2))· eq \r(（y1＋y2）2－4y1y2). 1．已知点(2，3)在椭圆eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,n2)＝1上，则下列说法正确的是(　　) A．点(－2，3)在椭圆外　　　 B．点(3，2)在椭圆上 C．点(－2，－3)在椭圆内 D．点(2，－3)在椭圆上 答案：D 2．直线y＝x＋1被椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1所截得的弦的中点坐标是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(5,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(7,3))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,2)，\f(17,2))) 答案：C 3．设F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则点P到椭圆左焦点的距离为________． 答案：4 直线与椭圆位置关系的判断 [例1]　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不同的公共点？ (2)有且只有一个公共点？ (3)没有公共点？ [解]　直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋m，　　　　　　　　　　　　　　　　　　①,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1， ②)) 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③ 关于x的一元二次方程的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)由Δ>0，得－3eq \r(2)<m<3eq \r(2). 于是，当－3eq \r(2)<m<3eq \r(2)时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点． (2)由Δ＝0，得m＝±3eq \r(2). 也就是当m＝±3eq \r(2)时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点． (3)由Δ<0，得m<－3eq \r(2)或m>3eq \r(2). 从而当m<－3eq \r(2)或m>3eq \r(2)时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点． eq \a\vs4\al() 判断