标准正交基课件.pptxVIP

一、正交向量组　　 标准正交基二、标准正交基三、正交矩阵 设Ｖ为欧氏空间，非零向量① 若 则 是正交向量组.② 正交向量组必是线性无关向量组.一、正交向量组定义：如果它们两两正交，则称之为正交向量组.注： 证：设非零向量　　 　 两两正交.令则由 　知故　　　　　　线性无关. ④ 维欧氏空间中正交向量组所含向量个数③ 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组．例如：　　中线性无关．但　　　不是正交向量组. 1. 几何空间　 中的情况在直角坐标系下是由单位向量构成的正交向量组，即 二、标准正交基是 的一组基. 设 ① 从②③得④即在基 　 下， 中的与内积有关的度量性质有 简单的表达形式. 维欧氏空间中，由 个向量构成的正交向量组称为正交基；2. 标准正交基的定义由单位向量构成的正交基称为标准正交基. 注：① 由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准正交基. ② 维欧氏空间V中的一组基 　 为标准正交基③ 维欧氏空间V中的一组基 为标准正交基当且仅当其度量矩阵 (1) ④ 　维欧氏空间V中标准正交基的作用:设 　 为V的一组标准正交基，则 (i)　设由(1) ，(ii) (3)这里 (iii)有 (2) (定理1) 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.证：设 　　　 欧氏空间Ｖ中的正交向量组，对　　　作数学归纳法．当 　 时, 　　3. 标准正交基的构造 ─施密特(Schmidt)正交化过程 就是一组正交基了. 1） 使假设 　　 时结论成立，即此时可找到向量 成为一组正交基.现在来看 　 　　的情形.所以必有向量 不能被 　　 线性表出，因为作向量待定． 从正交向量组的性质知于是取即 　为正交向量组．由归纳法假设知，对这 　　个向量构成的正交组可得可扩充得正交基.于是定理得证． 2）都可找到一组标准正交基 　　　　　 使证：基本方法─逐个构成出满足要求的(定理2) 对于 维欧氏空间中任一组基首先，可取 一般地，假定已求出 　 是单位正交的 ，且 (4) 当 　时，因为有由(4)知 不能被 　　线性表出．按定理1证明中的方法，作向量(5) 即 再设 可知 　 　　　是单位正交向量组．从(4)和(5)知 　　　　与 是等价向量组，因此，有由归纳原理，定理2得证.则　　　　且 则过渡矩阵　　　　是上三角形（即 　　　　） 注：且① 由 知，若 ② Schmidt正交化过程:化成正交向量组先把线性无关的向量组再单位化得标准正交向量组 例1. 把 变成单位正交的向量组.解：令正交化 再单位化即为所求． 例2. 在 　　中定义内积为 求 　　的一组标准正交基．(由基 　　　出发作正交化)解: 取正交化 单位化 于是得　 的标准正交基 设 与　　　 是 维欧氏空间V中的两组标准正交基，它们之间过渡矩阵是 即 4. 标准正交基间的基变换或由于　　　　　是标准正交基，所以（6） 由公式（3），有（7） 把A按列分块为　　　　　　　由（7）有（8） 则称A为正交矩阵. 2）由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵.三、正交矩阵1．定义设若Ａ满足2．简单性质1）A为正交矩阵 3）设 　　 是标准正交基，A为正交矩阵，若 则　　 　也是标准正交基. 4） 　　 为正交矩阵A的列向量组是欧氏空间 的标准正交基.6） 　　 为正交矩阵A的行向量组是欧氏空间 的标准正交基.5） 　　 为正交矩阵