分式方程无理方程和高次方程的解法讲练.docx

,. ,. ,. ,. 第一讲 分式方程(组)的解法 分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换 元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根． 例 1 解方程 解 令 y=x2＋2x-8，那么原方程为 去分母得 y(y-15x)＋(y+9x)(y-15x)＋y(y＋9x)=0， y2-4xy-45x2=0， (y+5x)(y-9x)=0， 所 以 y=9x 或 y=-5x． 1由 y=9x 得x2+2x-8=9x，即 x2-7x-8=0，所以 x 1  =-1，x  2=8；由 y=-5x，得 x2+2x-8=-5x，即 x2＋7x-8=0，所以 2 x34=-8，x =1． x 3 4 经检验，它们都是原方程的根． 例 2 解方程 y2-18y+72=0， 所 以 y1=6 或 y2=12． x2-2x＋6=0． 此方程无实数根． 2所 以 x 2  21=2 或 x 2 1  =6． x2-8x+12=0， 1经检验，x 1 =2，x =6 是原方程的实数根． 例 3 解方程 分析与解 我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式．原 方程可变为 整理得 去分母、整理得 经检验知，x=-9 是原方程的根． 例 4 解方程  x＋9=0，x=-9． ,. ,. ,. ,. 所以((x+6)(x+7)=(x+2)(x+3)． 所以 ((x+6)(x+7)=(x+2)(x+3)． 分析与解 方程中各项的分子与分母之差都是1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简．原方程化为 即 例 5 解方程 分析与解 注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简．原方程变形为 ,. ,. ,. ,. 整理得 去分母得 2x2＋9x-22＝0， 2 21解 得 x 2 1 =2，x =-11． 1经检验知，x 1 例 6 解方程 =2，x =-11 是原方程的根． ,. ,. ,. ,. 程变形为 所以  x=0 或 2x2-3x-2=2x2+5x-3． 次项与常数项符号相反，故可考虑用合比定理化简．原方 ,. ,. ,. ,. 例 7 解方程 分析与解 形式与上例相似．本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故可考虑用合分比定理化简．原方程变形为 ,. ,. ,. ,. 当 x≠0 时，解得 x=±1． 经检验，x=±1 是原方程的根，且 x=0 也是原方程的根． 说明 使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验． ,. ,. ,. ,. 例 8 解方程 解 将原方程变形为 ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. 例 9 解关于x 的方程 ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. ,. 1 2 1 2 1 2 1 2 例 10 如果方程 只有一个实数根，求a 的值及对应的原方程的根． 分析与解 将原方程变形，转化为整式方程后得 2x2-2x+(a+4)=0． ① 原方程只有一个实数根，因此，方程①的根的情况只能是：(1)方程①有两个相等的实数根，即 △=4-4·2(a+4)=0． ,. ,. ,. ,. 方程①有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程①有一个根为0 或 2． 1(i)当 x=0 时，代入①式得 a+4=0，即 a=-4．这时方程①的另一个根是x=1(因为 2x2-2x=0，x(x-1)=0， 1 2x1=0 或x 2 x 1 ＝1．而x ＝0 是增根)．它不使分母为零，确是原方程的唯一根． (ii)当 x=2 时，代入①式，得 22×4-2×2＋(a+4)=0， 2 1即 a=-8．这时方程①的另一个根是x=-1(因为 2x2-2x-4=0．(x-2)(x+1)=0，所以 x 使分母为零，确是原方程的唯一根． 1 因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a 的值分别是 =2(增根)，x =-1)．它不 练习一 填空： ,. ,. ,. ,. 如果关于 x 的方程 有增根 x=1，则 k= ． ,. ,. ,. ,. 解方程 解方程 解方程 ,. ,. ,. ,. 解方程 解方程 7．m 是什么数值时，方程 ,. ,. ,. ,. 第二讲 无理方程的解法 有根？ 未知数含在根号下的方程叫作无理方程(或根式方程)，这是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种．解无 理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方 法有：乘方法、配方法、因