第三章数学期望.ppt

第一页，共二十五页，2022年，8月28日 数学期望的定义 数学期望就是一个随机变量的期望值或简称期望。 离散随机变量的期望定义： E(X)=x1P(X=x1)+x2P(X=x2)+…+xnP(X=xn) =?xjP(X=xj) = ?xjf(xj) 如果随机变量取值概率都是相等的，那么我们就可 以得到一个特殊的期望，算术平均： E(X)=(x1+x2+…+xn)/n 第二页，共二十五页，2022年，8月28日 对于连续随机变量的数学期望： 第三页，共二十五页，2022年，8月28日 随机变量的函数 如果X是具有概率函数f(x)的离散随机变量，那么 Y=g(X)也是离散随机变量，且Y的概率函数为 第四页，共二十五页，2022年，8月28日 Y为连续随机变量的数学期望为： 第五页，共二十五页，2022年，8月28日 期望的若干定理 定理一： 若c是任一参数，则E(cX)=cE(X) 定理二： 若X和Y是任何随机变量，则 E(X+Y)=E(X)+E(Y) 定理三： 若X和Y是独立的随机变量，则 E(XY)=E(X)E(Y) 第六页，共二十五页，2022年，8月28日 方差和标准差 方差的定义： Var(X)=E((x-?)2)，?为期望或称为均值。 方差的正的平方根为标准差 连续随机变量的方差为 第七页，共二十五页，2022年，8月28日 方差（或标准差）是随机变量的值关于均值偏离或散布的测度。若随机变量的值趋向集中于均值附近，则方差就小；而若这些值趋向远离均值的地方，则方差就大。 第八页，共二十五页，2022年，8月28日 方差的若干定理 定理一：?2＝E((x-?)2)=E(X2)-?2=E(X2)- [E(X)]2 定理二：若c是任一常数，Var(cX)=c2Var(X) 定理三：当a=?=E(X)时，E((x-a)2)是最小值 定理四：若X和Y是独立随机变量，则 Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y) 第九页，共二十五页，2022年，8月28日 标准化随机变量 令X是带均值?和标准差?的随机变量，则我 们用下式定义标准化的随机变量 X*=(X-?)/? X*的一个重要性质是均值为0且方差为1，标 准化的变量对比较不同分布是有好处的。 第十页，共二十五页，2022年，8月28日 矩 随机变量X关于均值?的r阶中心矩，定义为： ?r=E((X-?)r) 这里r=0,1,2,…。由此得到?0=1 ?1=0 ?2=?2 X关于原点的r阶矩也称为r阶原点矩，定义为 ?‘r = E(Xr) 第十一页，共二十五页，2022年，8月28日 矩母函数 X的矩母函数定义为： MX(t)=E(etX) 在假设收敛的条件下，它是 我们可以将它进行泰勒级数展开 第十二页，共二十五页，2022年，8月28日 由于这个表达式种的系数，可以使我求出矩，因而 叫矩母函数。根据这个表达式，我们可以得到 即?’r是MX(t)的r阶导数在t=0处的值 第十三页，共二十五页，2022年，8月28日 矩母函数的若干定理 定理一：若MX(t)是随机变量X的矩母函数，a和 b(b?0)是常数，则(X+a)/b的矩母函数是 M(X+a)/b(t)=eat/bMX(t/b) 定理二：若X和Y是分别具有矩母函数MX(t)和MY(t) 的独立随机变量，则 MX+Y(t)=MX(t)MY(t) 定理三(唯一性定理)：设X和Y是分别具有矩母函 数MX(t)和MY(t)的随机变量,则当且仅当MX(t)＝MY(t) 恒等时X和Y有相同的概率分布 第十四页，共二十五页，2022年，8月28日 特征函数 在矩母函数里，若令t=i?，这里i是虚数单位，我们 得到一个重要的函数，称它为特征函数，用下式表 示： ?X(?)=MX(i?)=E(ei?X) 从而 由于|ei?x|=1,所以该级数和积分总是绝对收敛。对 第十五页，共二十五页，2022年，8月28日 应的： 这里 第十六页，共二十五页，2022年，8月28日 特征函数的若干定理 定理一：若?X(t)是随机变量X的特征函数，a和 b(b?0)是常数，则(X+a)/b的特征函数是 ?(X+a)/b(?)=eia?/b?X(?/b) 定理二：若X和Y是分别具有特征函数?X(t)和?Y(t) 的独