高等代数试题四.doc

线性变换 一 判断题 在向量空间中, , 则是的一个线性变换. ( ). 在向量空间中, , 则是的一个线性变换. ( ). 取定, 对任意的阶矩阵, 定义, 则是的一个线性变换. ( ). 是向量空间的线性变换, 向量组线性相关, 那么也线性相关. ( ). 在向量空间中, 则微商是一个线性变换. ( ). 在向量空间中, 已知线性变换 则. ( ). 对向量空间的任意线性变换, 有线性变换, 使是单位变换). ( ). 向量空间的两个线性变换,为; 则 在实数域上的维向量空间中取定一组基后, 的全体线性变换和上全体阶矩阵之间就建立了一个一一对应. ( ). 在取定基后, 的每个可逆线性变换对应于可逆矩阵, 但逆变换未必对应于逆矩阵. ( ). 线性变换在不同基下对应的矩阵是相似的. ( ). 相似矩阵不一定是同一线性变换在不同基下的矩阵. ( ). 域上的向量空间及其零子空间, 对的每个线性变换来说, 都是不变子空间. ( ). 除零变换外, 还存在向量空间的线性变换, 能使的任意子空间对该变换不变.( ) 向量空间的线性变换的不变子空间, 也是的另一线性变换的不变子空间, 这里. ( ). 向量空间的线性变换的象与核都是的不变子空间. ( ). 线性变换的特征向量之和, 仍为的特征向量. ( ). 属于线性变换同一特征根的特征向量的线性组合仍是的特征向量. ( ). 数域中任意数都是上的向量空间的零变换的特征根. ( ). 在一个基下可以对角化, 则在任何基下可以对角化. ( ). 正确 错误 正确 正确 正确 正确 错误 正确 正确 错误 正确 错误 正确 正确 错误 正确 错误 正确 错误 错误 二 填空题 设和是数域上的向量空间, 而是一个线性映射, 那么是单射的充要条件是____________. 设和是数域上的向量空间, 而是一个线性映射, 那么是满射的充要条件是____________. 是向量空间的线性变换, 若满足________________, 则称是可逆变换. 向量空间的任意线性变换, 都有 是维向量空间的一个位似变换: 那么关于的__________基的矩阵是. 在的基下的矩阵是 那么关于基的矩阵是_____________. 在中的线性变换, 那么关于基的矩阵是________________. 设分别是向量空间中绕原点逆时针旋转角的线性变换, 那么关于基的矩阵是___________________. 对于域上向量空间的数乘变换来说______________不变子空间. 维平面上的旋转变换,_________非平凡的不变子空间. 若线性变换与是_____________, 则的象与核都是的不变子空间. 相似矩阵有_____的特征多项式. 的___________都是的属于的特征向量. 与对角阵相似, , 则必与某一______________. 设是数域上的维向量空间, 的不同的特征根是, 则可对角化的充要条件是_____________. 设是实数域上的维向量空间的线性变换, 如果的任意一维子空间都是的不变子空间, 那么可以_____________. 设是实数域上的维向量空间的线性变换, 可对角化的充要条件是 的特征多项式的根都在内; _______________