三角形中的几何计算.pptVIP

§2 三角形中的几何计算 正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 可解的三角形 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边. ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角. ①已知三边，求各角. ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 公式的 作用有 哪些？ 1.能够正确运用正弦定理、余弦定理等知识、方法解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题.(重点、难点） 2.通过对全章知识的总结提高，系统深入地掌握本章知识及典型问题的解决方法. 例1.如图所示，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝5， AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长. 因为 所以 求解三角形中的几何计算问题时，要首先确定与未知量之间相关联的量，把所要求的问题转化为由已知条件可直接求解的量上来. 【总结提升】 【变式练习】 【提升总结】 运用正、余弦定理解决有关问题时，需根据需要作出辅助线构造三角形，再在三角形中运用定理求解． 正、余弦定理沟通了三角形中的边与角之间的数量关系，对三角形中的任何元素加以变化，都会引起三角形的形状、大小等的变化，但边、角之间仍符合正、余弦定理，所以不论题目如何千变万化，变换条件也好，变换结论也好．甚至在立体几何中的计算问题，只要紧紧抓住正、余弦定理，依托三角恒等变换和代数恒等变换，就可以将复杂问题化为简单问题来计算或证明． 【提升总结】 三角形面积的计算 对于此类问题，一般用公式S＝ 进行求解，可分为以下两种情况： (1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积． (2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及其夹角，再利用三角形面积公式进行求解． 已知圆内接四边形的边长为AB=2，BC=6，CD=DA=4.求四边形ABCD的面积. 【解题关键】连结BD，将四边形ABCD 转化为三角形. 【解析】如图，连结BD， 设四边形ABCD的面积为S. 【变式练习】 　　 则 S = S△ABD+ S△CDB = AB·ADsinA+ BC·CDsinC. ∵四边形ABCD为圆内接四边形， A+C=180°， ∴sinA=sinC，cosA=-cosC， ∴S= (AB·AD+BC·CD)sinA = (2×4+6×4)sinA =16sinA. 在△ABD中，由余弦定理得 BD2=AB2+AD2-2AB·ADcosA =22+42-2×2×4cosA=20-16cosA. 在△BCD中，同理可得 BD2=BC2+CD2-2BC·CDcosC =62+42+2×6×4cosA=52+48cosA. 由BD2=BD2，得 20-16cosA=52+48cosA cosA= ， ∴A=120°，∴S=16sin120°= . 1．在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC一定 是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 A 【解析】acosB=bcosA 2RsinAcosB=2RsinBcosA tanA=tanB A=B， ∴△ABC为等腰三角形. C 7 4.(2015·北京高考)在△ABC中,a=3,b= ,∠A= , 则∠B=　　　　　. 【解题关键】 利用正弦定理求解,注意角B的范围. 5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos(B-C)-1=6cos Bcos C. (1)求cos A. (2)若a=3，△ABC的面积为 求b，c. 【解析】(1)由3cos(B-C)-1=6cos Bcos C， 得3(cos Bcos C+sin Bsin C)-1=6cos Bcos C， 3cos Bcos C-3sin Bsin C=-1， 3cos(B+C)=-1， cos(π-A)= 则cosA=