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一元二次方程、二次函数、一元二次不等式。知识归纳 高2017级（文科）数学一轮复《一元二次方程、二次函数、一元二次不等式》知识归纳 一、一元二次方程 一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0（a≠0），其中ax^2、bx、c分别称为二次项、一次项、常数项。a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项。 解法： 1.直接开平方法：形如（x+m）^2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解。 2.“十字相乘”因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，求解。 3.公式法：一元二次方程ax^2+bx+c=0的求根公式为x=（-b±√(b^2-4ac)）/2a（b^2-4ac≥0）。 4.配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法。 根的判别式： 1.当Δ=b^2-4ac>0时，原方程有两个不相等的实数根。 2.当Δ=b^2-4ac=0时，原方程有两个相等的实数根。 3.当Δ=b^2-4ac<0时，原方程没有实数根。 根与系数的关系： 若关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2，则x1+x2=-b/a；x1x2=c/a。 二、二次函数 一般式：f(x)=ax^2+bx+c(a≠0) 三顶点式：f(x)=a(x-h)^2+k(a≠0)(其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a) 两根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)(仅限于二次函数图形与x轴有两个交点时) 对称轴x=-b/2a，顶点坐标(-b/2a。(4ac-b^2)/(4a)) 单调性：函数在(-∞,-b/2a]上递减，函数在(-∞,-b/2a]上递增，在[-b/2a,+∞)上递增，在[-b/2a,+∞)上递减。 三、二次函数在闭区间[m,n]上的最大、最小值问题探讨 设f(x)=ax^2+bx+c（a>0），则二次函数在闭区间[m,n]上的最大、最小值有如下的分布情况： m<n<-b/2a：f(x)单调递增，最小值为f(n)； m<-b/2a<n：顶点在区间内，最大值为f(-b/2a)，最小值为f(n)或f(m)； b/2a<m<n：顶点在区间内，最大值为f(-b/2a)，最小值为f(m)； m=n<-b/2a：f(x)取常数值f(m)=f(n)； m=n>-b/2a：f(x)单调递减，最小值为f(n)。 四．一元二次不等式的解法（a>0） 一元二次不等式的一般形式为：ax^2+bx+c>0（a>0）。要解决这类不等式，需要先了解一元二次方程的解法。 一元二次方程的一般形式为：ax^2+bx+c=0（a>0）。其中，判别式Δ=b^2-4ac，根据Δ的大小可以判断方程的解的情况： 1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实根，即x1=(-b+√Δ)/2a，x2=(-b-√Δ)/2a。 2.当Δ=0时，方程有两个相等的实根，即x1=x2=-b/2a。 3.当Δ<0时，方程无实根。 对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0，可以将其转化为一元二次方程ax^2+bx+c=0的解集。根据一元二次方程的解法，可以得到以下解集： 1.当Δ>0时，解集为{x|xx2}，其中x1=(-b+√Δ)/2a，x2=(-b-√Δ)/2a。 2.当Δ=0时，解集为{x|x=-b/2a}。 3.当Δ<0时，解集为R。 五．一元二次方程根的分布 设方程ax^2+bx+c=0（a>0）的两根为x1,x2且x1<x2，相应的二次函数为f(x)=ax^2+bx+c。方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下表（每种情况对应的均是充要条件）： 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 情况。x10,x2>0.x1<0<x2 大致图象（a>0）。得出Δ>0.得出Δ>0.得出Δ<0 结论。f(x)>0的解集为R。f(x)>0的解集为R。f(x)>0的解集为{x|xx2} 表二：（两根与k的大小比较） 情况。两根都小于k。两根都大于k。一个根小于k，一个大于k 大致图象（a>0,k）。得出Δ>0.得出Δ>0.得出Δ<0 结论。f(k)>0的解集为R。f(k)>0的解集为R。f(x)>0的解集为{x|xx2} 表三：（根在区间[m,n]上的分布） 情况。两根都在[m,n]内。一根在[m,n]内。两根分别在[m,n]和[p,q]内，m<n<p<q 大致图象（a>0）。得出Δ>0.得出Δ>0.得出Δ<0 结论。f(m)>0,f(n)>0的解集为{x|xn}。f(m)>0或f(n)>0的解集为{x|xn}。f(x)>0的解集为{x|xn或x∈[p,q]} 在某个区间内，函数的取值受到根的影响。如果该区间内没有根，那么函数的取值只受到区间两端点处的函数值的影响。具体来说，如果函数在区间端点处的取值分别为f(p)和