第六届团支书联席会复习宝典2014级上学期高数b1老师版.pdfVIP

习题课: 第五章 积分与极限 利用定积分求极限 积分的极限 含定积分的不等式 含定积分的中值问题, 零点问题 定积分的计算与几何应用 利用定积分求极限 定积分是和式极限 (Darboux 和). 因此求某个表达式的极限, 若能将 表达式写成某可积函数的 Darboux 和, 则极限值等于该函数的积分. ( ) 1 π 2π (n − 1)π 例如, 习题 5-1, B-4: lim sin + sin + ···+ sin . n→∞ n n n n 积分的极限 当极限的表达式中含有定积分时, 我们把这种极限称为积分的极限. 对这类极限, 充分运用积分的各种特性与运算法则, 有时也可转化为 某函数的积分或 Riemann 和的极限, 从而转化为新的定积分. ∫ π 2 1. 求极限 lim n sin xdx . n→∞ 0 2. 习题 5-4, A-12: 设 f ∈ C[a, +∞) , 且 f (a) = 0, ∫x ] 1 [ 求 lim f (t + h) −f (t) dt. h→0 h a + 3. 设f ′ ∈ R [a, b] , 对每个 n ∈ Z , 记 n ( ) ∫ b ∑ b − a b − a An = f a + i · − f (x)dx . n n i=1 a 证明: lim nA = b − a f[ (b) −f (a)] n . n→∞ 2 含定积分的不等式 有些函数虽然可积, 但原函数不能用初等函数的有限形式表示, 无法 应用 N-L 公式, 只能用其它方法对积分值进行估计, 或近似计算. 另 一种情况是, 被积函数没有明确给出, 只知道它的结构或某些性质, 希望对积分值给出某种估计. 例如, 习题 5-2: A-5; B-2; B-4. 常用方法 1. 定积分性质 4. 引进辅助函数 (变限积分), 2. N-L 公式 由单调性判定 3. 分部积分 5. 中值定理, Taylor 公式 ∫x 1 ′ 若f ∈ C [a, b], 则 f (x) =f (a) + f (t)dt, x ∈ [a, b]. a 下面两道题与习题 5-2, A-5 类似, 考虑定积分的性质 (单调性、积分中值定